Exercice 1: Soit (U_(n)) la suite numérique définic par : ) U_(0)=2 U_(n+1)=(4U_(n+1))/(U_(n)+4)(Vnin N) 1) Calculer U_(1) et U_(2) 2) Montrer par récurrence que : (Vnin N):U_(n)geqslant 1 3) Etudier la monotonie de la suite (U_(n)) 4) On considère la suite (V_(n)) définie par : (Vnin N):V_(n)=(4U_(n)+4)/(U_(n)-1) a) Montrer que (V_(n)) est une suite géométrique de raison q=(5)/(3) et calculer son premier terme V_(0) b) Exprimer V_(n) en fonction de n , puis U_(n) en fonction de n. 5) Calculer en fonction de n la somme : S_(n)=sum _(k=0)^nV_(k)=V_(0)+V_(1)+... +V_(n)

Exercice 1:1) Pour calculer et , nous utilisons la relation de récurrence donnée : 2) Pour montrer par récurrence que pour tout , nous allons utiliser la relation de récurrence donnée.- Initialisation : - Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un certain .- Étape de récurrence : Nous devons montrer que . Donc, par récurrence, nous avons montré que pour tout .3) Pour étudier la monotonie de la suite , nous allons calculer la différence et analyser son signe. Puisque , nous avons , ce qui signifie que la suite est décroissante.4) a) Pour montrer que est une suite géométrique de raison , nous allons utiliser la relation de récurrence donnée pour . Donc, est une suite géométrique de raison .Pour calculer le premier terme , nous utilisons la relation de récurrence donnée pour avec . b) Pour exprimer en fonction de , nous utilisons la relation de récurrence donnée