increlee 01:8 pts On considere la suite (u_(n)) définie par: (Vnin N) u_(n+1)=(1)/(3)u_(n)+2 et u_(0)=2 1) Montrer par récurrence que : (Vnin N)u_(n)leqslant 3 2) Etudier la monotonie de (u_(n)) et déduire qu'elle est convergente. 3) En déduire que (Vnin N) u_(n)geqslant 2 4) Pour tout n dans Non pose : v_(n)=u_(n)-3 a) Monter que (v_(n)) est une suite géométrique. b) Exprimer v_(n) en fonction de n. c) Calculer u_(n) en fonction de n puis préciser la limite de (u_(n)) 5) Pour tout n dans Fd on pose : S_(n)=u_(0)+u_(1)+... +u_(n-1)+u_(n) Calculer S_(n) en fonction de n puis préciser la limite de (5)

1) Pour montrer par récurrence que , nous allons utiliser le principe de récurrence mathématique.- Initialisation : Pour , nous avons .- Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un certain , nous avons .- Étape de récurrence : Nous devons montrer que . En utilisant la relation de récurrence donnée, nous avons : u_{k+1} = \frac{1}{3}u_k + 2 \leq \frac{1}{3} \cdot 3 + 2 = 3. Ainsi, par récurrence, nous avons montré que .2) Pour étudier la monotonie de , nous allons calculer la différence : u_{n+1} - u_n = \frac{1}{3}u_n + 2 - u_n = \frac{1}{3}u_n - u_n = -\frac{2}{3}u_n. Puisque , nous avons , ce qui signifie que . Donc, la suite est décroissante.De plus, nous savons que est bornée supérieurement par 3 (démontré dans la question 1). Une suite décroissante et bornée est convergente.3) Puisque est convergente, elle admet une limite . En prenant la limite de la relation de récurrence donnée, nous obtenons : L = \frac{1}{3}L + 2 \Rightarrow L - \frac{1}{3}L = 2 \Rightarrow \frac{2}{3}L = 2 \Rightarrow L = 3. Cependant, nous savons que pour tout . Donc, la limite de est 3. Par conséquent, nous avons montré que .4) a) Pour montrer que est une suite géométrique, nous devons montrer que la relation de récurrence peut être écrite sous la forme pour un certain rapport .En utilisant la définition de , nous avons : v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = \left(\frac{1}{3}u_n + 2\right) - 3 = \frac{1}{3}u_n - 1 = \frac{1}{3}(u_n - 3) = \frac{1}{3}v_n. Donc, est une suite géométrique de rapport .b) Puisque est une suite géométrique de rapport , nous pouvons exprimer en fonction de : v_n = v_0 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n. c) Pour calculer en fonction de , nous pouvons utiliser la relation : u_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n + 3. La limite de est 3, comme démontré dans la question 3.5) Pour calculer , nous pouvons utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : S_n = \frac{v_0 \cdot (1 - r^n)}{1 - r} = \frac{2 \cdot (1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n)}{1 - \frac