1) Donner la valeur de vérité et la négation des propositions suivantes : R:surd 4=-2ou6+4=10 s (Vxin Z)(exists yin Z);x-y=6 2) Soit ain R , montrer que vert a-2vert lt (2)/(3)Leftrightarrow (1)/(10)lt (1)/(3a+2)lt (1)/(6) 3) En utilisant le raisonnement par récurrence , Montrer que : then 1:1+5............................................................ (Vnin N^ast ):3^2n+1+2^n+2 divisible par 7. (forall xin N):(1+a)^ngeqslant 1+na (Vnin N):4^n-1 est un multiple de 3 ; (Vnin N) :6 divise n(n^2+5) 4) En utilisant le raisonnement par la contraposée , montrer que : (forall xin R- -1 );xneq (1)/(2)Longrightarrow (3x)/(x+1)neq 1 5) En utilisant le raisonnement par l'absurde , montrer que ; (nabla xin R);(2x+1)/(x-5)neq 2 6) par disjonction des cas,montrer que : (Vnin N)cdot (4divisen^2)ou(4divisen^2-1) 7) Résoudre dans R l'équation suivante ; vert xvert +5=3x

1) Pour la première question, nous devons donner la valeur de vérité et la négation des propositions suivantes :a) ou La valeur de vérité de cette proposition est Faux, car est égal à 2 et non à -2, et est égal à 10.La négation de cette proposition serait : et .b) La valeur de vérité de cette proposition est Vrai, car pour tout entier , il existe un entier tel que .La négation de cette proposition serait : .2) Pour la deuxième question, nous devons montrer que : et et et et .Donc, .Ainsi, nous avons montré que .3) Pour la troisième question, nous devons montrer que : est divisible par 7Pour cela, nous allons utiliser le raisonnement par récurrence.a) Initialisation :Pour , , qui est divisible par 7.Donc, la propriété est vraie pour .b) Hypothèse de récurrence :Supposons que la propriété soit vraie pour un certain , c'est-à-dire que est divisible par