3. A sayisinin 13 ile bõlümũnden kalan 5, B sayisinin 13 ile bôlümünc len kalan 4 olduguna gōre, A^2+AB+B^2 sayisinin 13 ile bôlümünden kalan kaçtir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Verilen bilgilere göre, A sayisinin 13 ile bölümünden kalan 5 ve B sayisinin 13 ile bölümünden kalan 4'tür. Bu durumda, A = 13k + 5 ve B = 13m + 4 şeklinde ifade edilebilir, burada k ve m tam sayıdır.<br /><br />İstenen ifadeyi hesaplayalım:<br />$A^{2}+AB+B^{2}$<br /><br />$A^{2}$ = $(13k + 5)^{2}$ = $169k^{2} + 130k + 25$<br /><br />$AB$ = $(13k + 5)(13m + 4)$ = $169km + 52k + 20m + 20$<br /><br />$B^{2}$ = $(13m + 4)^{2}$ = $169m^{2} + 52m + 16$<br /><br />Bu üç terimi toplarsak:<br />$A^{2}+AB+B^{2}$ = $169k^{2} + 130k + 25 + 169km + 52k + 20m + 20 + 169m^{2} + 52m + 16$<br /><br />Bu ifadeyi 13'e bölersek, kalanı şu şekilde olur:<br />$169k^{2} + 130k + 25 + 169km + 52k + 20m + 20 + 169m^{2} + 52m + 16 \mod 13$<br /><br />Kısaca, $A^{2}+AB+B^{2}$ sayisinin 13 ile bölümünden kalan 6 olacaktır. Dolayısıyla doğru cevap B) 6'dır.