6. sinx+cosx=(1)/(4) olduguna gore, sin^3x+cos^3x ifadesinin değeri kaçtir? A) (1)/(8) B) (1)/(4) C) (5)/(16) D) (47)/(128) E) (1)/(2)

Verilen denkleme göre $sinx + cosx = \frac{1}{4}$ olduğuna göre, $sin^3x + cos^3x$ ifadesinin değerini bulmak için trigonometrik bir identiteyi kullanabiliriz. Bu identite, $sin^3x + cos^3x = (sinx + cosx)(sin^2x - sinx \cdot cosx + cos^2x)$ şeklindedir.<br /><br />Bu ifadeyi kullanarak, $sin^3x + cos^3x = \frac{1}{4}(sin^2x - sinx \cdot cosx + cos^2x)$ olur.<br /><br />Daha sonra, $sin^2x + cos^2x = 1$ olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi kullanarak, $sin^3x + cos^3x = \frac{1}{4}(1 - sinx \cdot cosx)$ olur.<br /><br />Son olarak, $sinx \cdot cosx = \frac{1}{8}(sin2x)$ olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi kullanarak, $sin^3x + cos^3x = \frac{1}{4}(1 - \frac{1}{8}sin2x)$ olur.<br /><br />Sonuç olarak, $sin^3x + cos^3x = \frac{47}{128}$ olur. Bu nedenle doğru cevap D) $\frac{47}{128}$'tir.