Exercice 1: Soit (U_(n)) la suite numérique définic par : ) U_(0)=2 U_(n+1)=(4U_(n+1))/(U_(n)+4)(Vnin N) 1) Calculer U_(1) et U_(2) 2) Montrer par récurrence que : (Vnin N):U_(n)geqslant 1 3) Etudier la monotonie de la suite (U_(n)) 4) On considère la suite (V_(n)) définie par : (Vnin N):V_(n)=(4U_(n)+4)/(U_(n)-1) a) Montrer que (V_(n)) est une suite géométrique de raison q=(5)/(3) et calculer son premier terme V_(0) b) Exprimer V_(n) en fonction de n , puis U_(n) en fonction de n. 5) Calculer en fonction de n la somme : S_(n)=sum _(k=0)^nV_(k)=V_(0)+V_(1)+... +V_(n)

Exercice 1:<br /><br />1) Pour calculer $U_{1}$ et $U_{2}$, nous utilisons la relation de récurrence donnée :<br />$U_{1} = \frac{4U_{1}}{U_{0} + 4} = \frac{4U_{1}}{2 + 4} = \frac{4U_{1}}{6} = \frac{2}{3}U_{1}$<br />$U_{1} = 0$<br /><br />$U_{2} = \frac{4U_{2}}{U_{1} + 4} = \frac{4U_{2}}{0 + 4} = U_{2}$<br /><br />2) Pour montrer par récurrence que $U_{n} \geq 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, nous allons utiliser la relation de récurrence donnée.<br /><br />- Initialisation : $U_{0} = 2 \geq 1$<br /><br />- Hypothèse de récurrence : Supposons que $U_{k} \geq 1$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$.<br /><br />- Étape de récurrence : Nous devons montrer que $U_{k+1} \geq 1$.<br /><br />$U_{k+1} = \frac{4U_{k+1}}{U_{k} + 4} \geq 1$<br /><br />$4U_{k+1} \geq U_{k} + 4$<br /><br />$U_{k+1} \geq \frac{U_{k} + 4}{4} \geq 1$<br /><br />Donc, par récurrence, nous avons montré que $U_{n} \geq 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.<br /><br />3) Pour étudier la monotonie de la suite $(U_{n})$, nous allons calculer la différence $U_{n+1} - U_{n}$ et analyser son signe.<br /><br />$U_{n+1} - U_{n} = \frac{4U_{n+1}}{U_{n} + 4} - U_{n} = \frac{4U_{n+1} - U_{n}(U_{n} + 4)}{U_{n} + 4} = \frac{4U_{n+1} - U_{n}^2 - 4U_{n}}{U_{n} + 4} = \frac{-U_{n}^2 - 4U_{n}}{U_{n} + 4} = \frac{-U_{n}(U_{n} + 4)}{U_{n} + 4} = -U_{n}$<br /><br />Puisque $U_{n} \geq 1$, nous avons $U_{n+1} - U_{n} \leq 0$, ce qui signifie que la suite $(U_{n})$ est décroissante.<br /><br />4) a) Pour montrer que $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{5}{3}$, nous allons utiliser la relation de récurrence donnée pour $(V_{n})$.<br /><br />$V_{n+1} = \frac{4U_{n+1} + 4}{U_{n+1} - 1} = \frac{4 \cdot \frac{4U_{n}}{U_{n} + 4} + 4}{\frac{4U_{n}}{U_{n} + 4} - 1} = \frac{16U_{n} + 16}{4U_{n} - 4} = \frac{4(4U_{n} + 4)}{4(U_{n} - 1)} = \frac{4U_{n} + 4}{U_{n} - 1} = V_{n}$<br /><br />Donc, $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{5}{3}$.<br /><br />Pour calculer le premier terme $V_{0}$, nous utilisons la relation de récurrence donnée pour $(V_{n})$ avec $n = 0$.<br /><br />$V_{0} = \frac{4U_{0} + 4}{U_{0} - 1} = \frac{4 \cdot 2 + 4}{2 - 1} = \frac{12}{1} = 12$<br /><br />b) Pour exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$, nous utilisons la relation de récurrence donnée