increlee 01:8 pts On considere la suite (u_(n)) définie par: (Vnin N) u_(n+1)=(1)/(3)u_(n)+2 et u_(0)=2 1) Montrer par récurrence que : (Vnin N)u_(n)leqslant 3 2) Etudier la monotonie de (u_(n)) et déduire qu'elle est convergente. 3) En déduire que (Vnin N) u_(n)geqslant 2 4) Pour tout n dans Non pose : v_(n)=u_(n)-3 a) Monter que (v_(n)) est une suite géométrique. b) Exprimer v_(n) en fonction de n. c) Calculer u_(n) en fonction de n puis préciser la limite de (u_(n)) 5) Pour tout n dans Fd on pose : S_(n)=u_(0)+u_(1)+... +u_(n-1)+u_(n) Calculer S_(n) en fonction de n puis préciser la limite de (5)

1) Pour montrer par récurrence que $(\forall n \in \mathbb{N}) u_n \leq 3$, nous allons utiliser le principe de récurrence mathématique.<br /><br />- Initialisation : Pour $n = 0$, nous avons $u_0 = 2 \leq 3$.<br /><br />- Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un certain $k \in \mathbb{N}$, nous avons $u_k \leq 3$.<br /><br />- Étape de récurrence : Nous devons montrer que $u_{k+1} \leq 3$. En utilisant la relation de récurrence donnée, nous avons :<br />$$u_{k+1} = \frac{1}{3}u_k + 2 \leq \frac{1}{3} \cdot 3 + 2 = 3.$$<br /><br />Ainsi, par récurrence, nous avons montré que $(\forall n \in \mathbb{N}) u_n \leq 3$.<br /><br />2) Pour étudier la monotonie de $(u_n)$, nous allons calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ :<br />$$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{3}u_n + 2 - u_n = \frac{1}{3}u_n - u_n = -\frac{2}{3}u_n.$$<br /><br />Puisque $u_n \leq 3$, nous avons $-\frac{2}{3}u_n \leq -2$, ce qui signifie que $u_{n+1} - u_n \leq -2$. Donc, la suite $(u_n)$ est décroissante.<br /><br />De plus, nous savons que $(u_n)$ est bornée supérieurement par 3 (démontré dans la question 1). Une suite décroissante et bornée est convergente.<br /><br />3) Puisque $(u_n)$ est convergente, elle admet une limite $L$. En prenant la limite de la relation de récurrence donnée, nous obtenons :<br />$$L = \frac{1}{3}L + 2 \Rightarrow L - \frac{1}{3}L = 2 \Rightarrow \frac{2}{3}L = 2 \Rightarrow L = 3.$$<br /><br />Cependant, nous savons que $u_n \leq 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Donc, la limite de $(u_n)$ est 3. Par conséquent, nous avons montré que $(\forall n \in \mathbb{N}) u_n \geq 2$.<br /><br />4) a) Pour montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, nous devons montrer que la relation de récurrence peut être écrite sous la forme $v_{n+1} = r \cdot v_n$ pour un certain rapport $r$.<br /><br />En utilisant la définition de $v_n$, nous avons :<br />$$v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = \left(\frac{1}{3}u_n + 2\right) - 3 = \frac{1}{3}u_n - 1 = \frac{1}{3}(u_n - 3) = \frac{1}{3}v_n.$$<br /><br />Donc, $(v_n)$ est une suite géométrique de rapport $\frac{1}{3}$.<br /><br />b) Puisque $(v_n)$ est une suite géométrique de rapport $\frac{1}{3}$, nous pouvons exprimer $v_n$ en fonction de $n$ :<br />$$v_n = v_0 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n.$$<br /><br />c) Pour calculer $u_n$ en fonction de $n$, nous pouvons utiliser la relation $u_n = v_n + 3$ :<br />$$u_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n + 3.$$<br /><br />La limite de $(u_n)$ est 3, comme démontré dans la question 3.<br /><br />5) Pour calculer $S_n$, nous pouvons utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :<br />$$S_n = \frac{v_0 \cdot (1 - r^n)}{1 - r} = \frac{2 \cdot (1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n)}{1 - \frac