Exercice 03: 3pts 1) Soit f la fonction définie sur R par: f(x)=2x(x^2+3)^4 Déterminer la fonction primitive F de f sur R qui vérifie F(0)=3 2) Déterminer les fonctions primitives sur IR des fonctions suivantes: g(x)=5xsqrt (x^2+2); h(x)=5sin(1-3x)-2x

1) Pour déterminer la fonction primitive \( F(x) \) de \( f(x) = 2x(x^2 + 3)^4 \) qui satisfait \( F(0) = 3 \), nous devons intégrer \( f(x) \) par rapport à \( x \). En intégrant, nous obtenons \( F(x) = \frac{1}{5}(x^2 + 3)^5 + C \), où \( C \) est la constante d'intégration. En utilisant la condition \( F(0) = 3 \), nous trouvons \( C = 3 \). Donc, la fonction primitive \( F(x) \) est \( F(x) = \frac{1}{5}(x^2 + 3)^5 + 3 \).<br /><br />2) Pour déterminer les fonctions primitives des fonctions données, nous devons intégrer chaque fonction par rapport à \( x \).<br /><br />a) Pour \( g(x) = 5x\sqrt{x^2 + 2} \), en intégrant, nous obtenons \( G(x) = \frac{5}{3}(x^2 + 2)^{3/2} + C \), où \( C \) est la constante d'intégration.<br /><br />b) Pour \( h(x) = 5\sin(1 - 3x) - 2x \), en intégrant, nous obtenons \( H(x) = -\frac{5}{3}\cos(1 - 3x) - x^2 + C \), où \( C \) est la constante d'intégration.