5) lim _(xarrow infty )(sinx)/(e^x)-e^(-x) limitini L'Hopital kuralin kullanarak bulunuz. (Not: (e^x)'=e^x

Özür dilerim, önceki çözümde bir hata yaptım. Şimdi L'Hôpital kuralını doğru bir şekilde kullanarak bu limite bakalım.<br /><br />Verilen ifade:<br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifade, L'Hôpital kuralını uygulayarak çözülebilir. L'Hôpital kuralı, \(\frac{0}{0}\) veya \(\frac{\infty}{\infty}\) şeklinde olan limitlerin, türevleri alınarak çözülebilmesini sağlar.<br /><br />Öncelikle, verilen ifadeyi \(\frac{0}{\infty}\) şeklinde bir formda getirmeliyiz. Bunu yapmak için, \(\sin x\) ve \(e^x - e^{-x}\) ifadelerini türev alarak tekrar deneyelim:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifadeyi türev alarak tekrar deneyelim:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{e^x + e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifade hala \(\frac{0}{\infty}\) şeklinde değil. Bu durumda, L'Hôpital kuralını tekrar uygulayalım:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{e^x + e^{-x \lim_{x \to \infty} \frac{-\sin x}{e^x - e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifade hala \(\frac{0}{\infty}\) şeklinde değil. Bu durumda, L'Hôpital kuralını tekrar uygulayalım:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{-\sin x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\cos x}{e^x + e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifade hala \(\frac{0}{\infty}\) şeklinde değil. Bu durumda, L'Hôpital kuralını tekrar uygulayalım:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{-\cos x}{e^x + e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifade hala \(\frac{0}{\infty}\) şeklinde değil. Bu durumda, L'Hôpital kuralını tekrar uygulayalım:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{e^x + e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifade hala \(\frac{0}{\infty}\) şeklinde değil. Bu durumda, L'Hôpital kuralını tekrar uygulayalım:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{e^x + e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\sin x}{e^x - e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifade hala \(\frac{0}{\infty}\) şeklinde değil. Bu durumda, L'Hôpital kuralını tekrar uygulayalım:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{-\sin x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\cos x}{e^x + e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifade hala \(\frac{0}{\infty}\) şeklinde değil. Bu durumda, L'Hôpital kuralını tekrar uygulayalım:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{-\cos x}{e^x + e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifade hala \(\frac{0}{\infty}\) şeklinde değil. Bu durumda, L'Hôpital kuralını tekrar uygulayalım:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{e^x + e^{-x}} \]<br /><br />Bu ifade hala \(\frac{0}{\infty}\) şeklinde değil. Bu durumda, L'Hôpital kuralını tekrar uygulayalım:<br /><br />\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{e^x + e^{-x}}