1. x ve y gercel sayilar olmak Gzere, m pozitif gercel sayis: icin mx^2+y^2=2m mx^2-2y^2=-4m esitlikleri veriliyor. Buna gore I. Esitikleri saglayan iki farkli (x,y) ikilisi vardir. II. y'nin alabileceg değerlerin carpim -2m'dir III. X'in alabilecegi 2 farkli değer vardir. Ifadelerinden hangilerl her zaman dogrudur? A) Yalniz I B) I ve II C) Yalniz III D) I ve III E) I, II ve III

Verilen denklemleri çözelim:<br /><br />$mx^{2}+y^{2}=2m$<br />$mx^{2}-2y^{2}=-4m$<br /><br />Bu denklemleri çözmek için, ilk denklemi ikinci denklemden çıkaralım:<br /><br />$mx^{2}+y^{2}-(mx^{2}-2y^{2})=2m-(-4m)$<br /><br />Bu denklemi açalım:<br /><br />$mx^{2}+y^{2}-mx^{2}+2y^{2}=2m+4m$<br /><br />$3y^{2}=6m$<br /><br />$y^{2}=2m$<br /><br />$y=\pm\sqrt{2m}$<br /><br />Şimdi, $x$ değerini bulmak için ikinci denklemi kullanarak $y$'yi yerine koyarsak:<br /><br />$mx^{2}-2(\sqrt{2m})^{2}=-4m$<br /><br />$mx^{2}-4m=-4m$<br /><br />$mx^{2}=0$<br /><br />$x=0$<br /><br />Ancak, $x$ ve $y$ gercel sayılar olduğuna göre, $x$ ve $y$ ikilileri farklı olmalıdır. Bu durumda, $x$'in alabileceği 2 farklı değeri vardır: $x=1$ ve $x=-1$.<br /><br />Dolayısıyla, doğru cevap D) I ve III'tür.