F(x)=(e^x-e^-x-2sinx)/(4x^3)Longrightarrow f'(x)=?

لحساب المشتقة $f'(x)$ للدالة $F(x) = \frac{e^x - e^{-x} - 2\sin(x)}{4x^3}$، نستخدم قاعدة القسمة. لنقم بالخطوات التالية:

1. نسمي $u(x) = e^x - e^{-x} - 2\sin(x)$ و $v(x) = 4x^3$.
2. نحسب المشتقات $u'(x)$ و $v'(x)$:
- $u'(x) = e^x + e^{-x} - 2\cos(x)$
- $v'(x) = 12x^2$
3. نطبق قاعدة القسمة:
$$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$
4. نستبدل $u(x)$، $u'(x)$، $v(x)$، و $v'(x)$ في المعادلة:
$$f'(x) = \frac{(e^x + e^{-x} - 2\cos(x)) \cdot 4x^3 - (e^x - e^{-x} - 2\sin(x)) \cdot 12x^2}{(4x^3)^2}$$
5. نتبسط البسط:
$$f'(x) = \frac{4x^3(e^x + e^{-x} - 2\cos(x)) - 12x^2(e^x - e^{-x} - 2\sin(x))}{16x^6}$$
6. نتبسط البسط:
$$f'(x) = \frac{4x(e^x + e^{-x} - 2\cos(x)) - 12x(e^x - e^{-x} - 2\sin(x))}{16x^3}$$
7. نتبسط البسط:
$$f'(x) = \frac{4(e^x + e^{-x} - 2\cos(x)) - 12x(e^x - e^{-x} - 2\sin(x))}{16x^3}$$

إذاً، المشتقة هي:
$$f'(x) = \frac{4(e^x + e^{-x} - 2\cos(x)) - 12x(e^x - e^{-x} - 2\sin(x))}{16x^3}$$