Résoudre dans R les équations sulvantes: (E_(1)):ln(x^2+x)=ln(-2x-2) (E_(2)):ln(x-3)+ln(x-1)=ln(2x+3) (E_(3)):ln(x-2)+ln(x-3)=ln(x^2-9) ( E_(4)):ln(x-1)+ln(x+3)=ln(x^2+4x+9) (E_(5)):3ln^2x-7lnx+10=0 (E_(6)):(1)/(2)ln(x^2+1)=ln(x+2) (E_(7)):ln^2x-5lnx+4=0 (E_(8)):ln(sqrt (2x-3))=ln(6-x)-(1)/(2)lnx

Pour résoudre ces équations, nous devons utiliser les propriétés des logarithmes et les éliminer pour trouver les valeurs de x qui satisfont chaque équation.<br /><br />Pour l'équation $(E_{1})$, nous pouvons utiliser la propriété des logarithmes qui dit que si $\ln(a) = \ln(b)$, alors $a = b$. Donc, nous avons $x^{2}+x = -2x-2$. En résolvant cette équation quadratique, nous obtenons $x = -1$.<br /><br />Pour l'équation $(E_{2})$, nous pouvons utiliser la propriété des logarithmes qui dit que $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$. Donc, nous avons $\ln((x-3)(x-1)) = \ln(2x+3)$. En simplifiant, nous obtenons $(x-3)(x-1) = 2x+3$. En résolvant cette équation quadratique, nous obtenons $x = 4$.<br /><br />Pour l'équation $(E_{3})$, nous pouvons utiliser la propriété des logarithmes qui dit que $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$. Donc, nous avons $\ln((x-2)(x-3)) = \ln(x^{2}-9)$. En simplifiant, nous obtenons $(x-2)(x-3) = x^{2}-9$. En résolvant cette équation quadratique, nous obtenons $x = 3$.<br /><br />Pour l'équation $(E_{4})$, nous pouvons utiliser la propriété des logarithmes qui dit que $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$. Donc, nous avons $\ln((x-1)(x+3)) = \ln(x^{2}+4x+9)$. En simplifiant, nous obtenons $(x-1)(x+3) = x^{2}+4x+9$. En résolvant cette équation quadratique, nous obtenons $x = 3$.<br /><br />Pour l'équation $(E_{5})$, nous pouvons utiliser la propriété des logarithmes qui dit que $\ln(a^{b}) = b\ln(a)$. Donc, nous avons $\ln(x^{3}) - \ln(x^{7}) = \ln(10)$. En simplifiant, nous obtenons $x^{3} = 10x^{7}$. En résolvant cette équation, nous obtenons $x = \sqrt[4]{10}$.<br /><br />Pour l'équation $(E_{6})$, nous pouvons utiliser la propriété des logarithmes qui dit que $\ln(a^{b}) = b\ln(a)$. Donc, nous avons $\ln(\sqrt{x^{2}+1}) = \ln(x+2)$. En simplifiant, nous obtenons $\sqrt{x^{2}+1} = x+2$. En résolvant cette équation, nous obtenons $x = 1$.<br /><br />Pour l'équation $(E_{7})$, nous pouvons utiliser la propriété des logarithmes qui dit que $\ln(a^{b}) = b\ln(a)$. Donc, nous avons $\ln(x^{2}) - 5\ln(x) + 4 = 0$. En simplifiant, nous obtenons $x^{2} = e^{5-4}$. En résolvant cette équation, nous obtenons $x = e$.<br /><br />Pour l'équation $(E_{8})$, nous pouvons utiliser la propriété des logarithmes qui dit que $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$. Donc, nous avons $\ln(\sqrt{2x-3}) = \ln(\frac{6-x}{\sqrt{x}})$. En simplifiant, nous obtenons $\sqrt{2x-3} = \frac{6-x}{\sqrt{x}}$. En résolvant cette équation, nous obtenons $x = 3$.