1. Analitik düzlemde A(-1,2) ve B(3,k+4) nokta lan arasindak uzaklik 4sqrt (5) birim olduğuna gỡre, k'nin alabileceg değerlerln toplam kaçtir? A) 4 B) 2 C) -2 D) -3 E) -4

Verilen noktalar $A(-1,2)$ ve $B(3,k+4)$, analitik düzlemde uzaklıkları $4\sqrt{5}$ birimdir. Bu durumu kullanarak $k$ değerlerini bulabiliriz.<br /><br />Uzaklık formülü:<br />\[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]<br /><br />Bu durumda:<br />\[ \sqrt{(3 - (-1))^2 + ((k+4) - 2)^2} = 4\sqrt{5} \]<br /><br />Bu denklemini çözelim:<br />\[ \sqrt{(3 + 1)^2 + (k + 4 - 2)^2} = 4\sqrt{5} \]<br />\[ \sqrt{4^2 + (k + 2)^2} = 4\sqrt{5} \]<br />\[ \sqrt{16 + (k + 2)^2} = 4\sqrt{5} \]<br /><br />Her iki tarafın karesini alalım:<br />\[ 16 + (k + 2)^2 = 80 \]<br />\[ (k + 2)^2 = 64 \]<br />\[ k + 2 = \pm 8 \]<br /><br />Bu durumda iki değerimiz var:<br />\[ k + 2 = 8 \quad \text{veya} \quad k + 2 = -8 \]<br /><br />Bu denklemleri çözelim:<br />\[ k = 6 \quad \text{veya} \quad k = -10 \]<br /><br />Sonuç olarak, $k$ değerlerinin toplamı:<br />\[ 6 + (-10) = -4 \]<br /><br />Dolayısıyla doğru cevap E) $-4$'tür.