4. (1+tan161^circ cdot tan101^circ )/(tan19^circ )-tan79^(circ ) ifadesinin degeri kaçtir? A) 3sqrt (2) B) sqrt (3)+sqrt (2) C) sqrt (2)+1 D) -(1)/(sqrt (2)) E) -(1)/(sqrt (3))

Bu soruyu çözmek için trigonometri ve tan fonksiyonlarının özellikleri hakkında bilgi sahibi olmalıyız.<br /><br />Verilen ifadeyi çözmek için tan fonksiyonlarının özelliklerini kullanarak tan 161° ve tan 101° ifadelerini sadeleştiririz:<br /><br />$\tan 161^{\circ} = \tan (180^{\circ} - 19^{\circ}) = -\tan 19^{\circ}$<br /><br />$\tan 101^{\circ} = \tan (180^{\circ} - 79^{\circ}) = -\tan 79^{\circ}$<br /><br />Şimdi bu değerleri yerine koyarak ifadeyi sadeleştiririz:<br /><br />$\frac{1 + (-\tan 19^{\circ}) \cdot (-\tan 79^{\circ})}{\tan 19^{\circ} - \tan 79^{\circ}}$<br /><br />$\frac{1 + \tan 19^{\circ} \cdot \tan 79^{\circ}}{\tan 19^{\circ} - \tan 79^{\circ}}$<br /><br />Burada $\tan 19^{\circ} \cdot \tan 79^{\circ} = 1$ olduğunu biliyoruz, bu yüzden ifadeyi sadeleştiririz:<br /><br />$\frac{1 + 1}{\tan 19^{\circ} - \tan 79^{\circ}}$<br /><br />$\frac{2}{\tan 19^{\circ} - \tan 79^{\circ}}$<br /><br />$\tan 79^{\circ} = \tan (90^{\circ} - 11^{\circ}) = \cot 11^{\circ}$ olduğundan, $\tan 19^{\circ} = \cot 71^{\circ}$ olur.<br /><br />$\frac{2}{\cot 71^{\circ} - \cot 11^{\circ}}$<br /><br />$\frac{2}{\frac{1}{\tan 71^{\circ}} - \frac{1}{\tan 11^{\circ}}}$<br /><br />$\frac{2 \cdot \tan 71^{\circ} \cdot \tan 11^{\circ}}{\tan 71^{\circ} - \tan 11^{\circ}}$<br /><br />$\frac{2 \cdot \frac{1}{\tan 11^{\circ}}}{\tan 71^{\circ} - \tan 11^{\circ}}$<br /><br />$\frac{2}{\tan 71^{\circ} - \tan 11^{\circ}}$<br /><br />$\frac{2}{\tan 60^{\circ}}$<br /><br />$\frac{2}{\sqrt{3}}$<br /><br />$\frac{2\sqrt{3}}{3}$<br /><br />Sonuç olarak, verilen ifadenin değeri $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ olur. Bu nedenle doğru cevap yoktur.