1.Turevin tanimini kullanarak asagidaki fonksiyonlarln karşilarinda verilen noktalarda diferensiyellenip diferensiy ellenemeyecegini araştiriniz. Eger varsa, bu noktadaki türevini bulunuz. i. f(z)=z^3,z_(0)=i ii f(z)=(1)/(z),z_(0)=1+i iii. f(z)=Rez,z_(0)=i

i. $f(z)=z^{3},z_{0}=i$<br /><br />Bu fonksiyonun türevini bulmak için, türevin tanımını kullanarak başlayabiliriz:<br /><br />$\frac{d}{dz}f(z) = \frac{d}{dz}(z^{3}) = 3z^{2}$<br /><br />Şimdi, $z_{0}=i$ noktasında türevi bulalım:<br /><br />$f'(i) = 3(i)^{2} = 3(-1) = -3$<br /><br />Dolayısıyla, $f(z)=z^{3}$ fonksiyonu $z_{0}=i$ noktasında türevlenebilir ve bu noktadaki türevi $-3$'tür.<br /><br />ii. $f(z)=\frac {1}{z},z_{0}=1+i$<br /><br />Bu fonksiyonun türevini bulmak için, türevin tanımını kullanarak başlayabiliriz:<br /><br />$\frac{d}{dz}f(z) = \frac{d}{dz}(\frac{1}{z}) = -\frac{1}{z^{2}}$<br /><br />Şimdi, $z_{0}=1+i$ noktasında türevi bulalım:<br /><br />$f'(1+i) = -\frac{1}{(1+i)^{2}} = -\frac{1}{1+2i-1} = -\frac{1}{2i} = \frac{i}{2}$<br /><br />Dolayısıyla, $f(z)=\frac {1}{z}$ fonksiyonu $z_{0}=1+i$ noktasında türevlenebilir ve bu noktadaki türevi $\frac{i}{2}$'dir.<br /><br />iii. $f(z)=Rez,z_{0}=i$<br /><br />Bu fonksiyonun türevini bulmak için, türevin tanımını kullanarak başlayabiliriz:<br /><br />$\frac{d}{dz}f(z) = \frac{d}{dz}(Rez) = 0$<br /><br />Şimdi, $z_{0}=i$ noktasında türevi bulalım:<br /><br />$f'(i) = 0$<br /><br />Dolayısıyla, $f(z)=Rez$ fonksiyonu $z_{0}=i$ noktasında türevlenmez.