(5^x+1-8)(5^x+1+8)=6cdot 5^x+2 esitlig veriliyor. denkleminin cozom kümosini bulunuz.

Verilen denklemi çözmek için adım adım ilerleyelim:<br /><br />\[<br />(5^{x+1} - 8)(5^{x+1} + 8) = 6 \cdot 5^{x+2}<br />\]<br /><br />Bu ifadeyi açalım:<br /><br />\[<br />(5^{x+1})^2 - 8^2 = 6 \cdot 5^{x+2}<br />\]<br /><br />\[<br />5^{2(x+1)} - 64 = 6 \cdot 5^{x+2}<br />\]<br /><br />\[<br />5^{2x+2} - 64 = 6 \cdot 5^{x+2}<br />\]<br /><br />\[<br />5^{2x+2} - 64 = 6 \cdot 5^{x+2}<br />\]<br /><br />\[<br />5^{2x+2} - 6 \cdot 5^{x+2} = 64<br />\]<br /><br />\[<br />5^{x+2}(5^x - 6) = 64<br />\]<br /><br />Şimdi, bu denklemi çözmek için \( y = 5^x \) yerine koyarsak:<br /><br />\[<br />5^{x+2} = 25 \cdot 5^x = 25y<br />\]<br /><br />Denklemimiz şu hale gelir:<br /><br />\[<br />25y(y - 6) = 64<br />\]<br /><br />\[<br />25y^2 - 150y = 64<br />\]<br /><br />\[<br />25y^2 - 150y - 64 = 0<br />\]<br /><br />Bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için diskriminantını hesaplayalım:<br /><br />\[<br />D = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-64)<br />\]<br /><br />\[<br />D = 22500 + 6400 = 28900<br />\]<br /><br />Diskriminantın kökü:<br /><br />\[<br />\sqrt{28900} = 170<br />\]<br /><br />Denklemin kökleri:<br /><br />\[<br />y = \frac{150 \pm 170}{50}<br />\]<br /><br />\[<br />y_1 = \frac{320}{50} = 6.4<br />\]<br /><br />\[<br />y_2 = \frac{-20}{50} = -0.4<br />\]<br /><br />Şimdi, \( y = 5^x \) yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım:<br /><br />\[<br />5^x = 6.4 \quad \text{veya} \quad 5^x = -0.4<br />\]<br /><br />\[<br />x = \log_5(6.4) \quad \text{veya} \quad x = \log_5(-0.4)<br />\]<br /><br />Sonuç olarak, denklemin çözümü:<br /><br />\[<br />x = \log_5(6.4) \quad \text{veya} \quad x = \log_5(-0.4)<br />\]<br /><br />Ancak, \( x = \log_5(-0.4) \) geçerli değildir çünkü logaritma negatif bir sayı için tanımsızdır. Dolayısıyla, çözüm:<br /><br />\[<br />x = \log_5(6.4)<br />\]