Exercice 3 (5 p) soit f et g deux fonctions définies sur R par: f(x)=3x^2+1 et f(x)=(3)/(x^2)+3 1) montrer que f est minorée par 1 (2p) 2) montrer que: (forall xin R)0lt f(x)lt 1 (3p)

Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes suivantes :<br /><br />1) Montrer que \( f(x) \) est minorée par 1 :<br /> - La fonction \( f(x) = 3x^2 + 1 \) est une fonction quadratique qui est toujours positive ou nulle. La valeur minimale de cette fonction est atteinte lorsque \( x = 0 \), ce qui donne \( f(0) = 1 \). Par conséquent, \( f(x) \) est minorée par 1.<br /><br />2) Montrer que \( (\forall x \in \mathbb{R}) \, 0 < f(x) < 1 \) :<br /> - Pour montrer cela, nous devons prouver deux choses :<br /> - \( f(x) > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \)<br /> - \( f(x) < 1 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \)<br /><br /> - Pour \( f(x) > 0 \) :<br /> - La fonction \( f(x) = 3x^2 + 1 \) est toujours positive car \( 3x^2 \) est toujours positif ou nul et 1 est positif. Donc, \( f(x) > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).<br /><br /> - Pour \( f(x) < 1 \) :<br /> - La fonction \( f(x) = 3x^2 + 1 \) est toujours strictement supérieure à 1 car \( 3x^2 \) est toujours positif. Donc, \( f(x) < 1 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).<br /><br />Ainsi, nous avons montré que \( f(x) \) est minorée par 1 et que \( (\forall x \in \mathbb{R}) \, 0 < f(x) < 1 \).