5. 2x+3y-10=0 dogrusu uzerinde apsisi ordinatina esit olan A noktasinin y=(4x+c)/(2) dogrusuna uzak. sqrt (5) birim ise c kaç olabilir?

Verilen denklem $2x+3y-10=0$ ile $y=\frac{4x+c}{2}$ doğrusu arasındaki mesafeyi bulmak için, bu iki doğrunun arasındaki mesafeyi hesaplayabiliriz.<br /><br />İlk olarak, $2x+3y-10=0$ doğrusu için $y$'yi $x$'e göre ifade edelim:<br />$3y = -2x + 10$<br />$y = -\frac{2}{3}x + \frac{10}{3}$<br /><br />Şimdi, $y=\frac{4x+c}{2}$ doğrusu için $y$'yi $x$'e göre ifade edelim:<br />$y = 2x + \frac{c}{2}$<br /><br />Bu iki doğrunun arasındaki mesafeyi bulmak için, şu formülü kullanabiliriz:<br />$M = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$<br /><br />Burada $A$ ve $B$ ilk doğrunun eğimi ve $C$ sabitidir. $x_1$ ve $y_1$ ise ikinci doğrunun eğimi ve $c$ sabitidir.<br /><br />İlk doğrunun eğimi $-\frac{2}{3}$ olduğuna göre, $A = -\frac{2}{3}$ ve $B = 1$ olur. İkinci doğrunun eğimi $2$ olduğuna göre, $x_1 = 2$ ve $y_1 = 1$ olur.<br /><br />Şimdi, bu değerleri formüle yerleştirelim:<br />$M = \frac{|-\frac{2}{3}(2) + 1(1) - 10|}{\sqrt{(-\frac{2}{3})^2 + 1^2}}$<br /><br />$M = \frac{|-\frac{4}{3} + 1 - 10|}{\sqrt{\frac{4}{9} + 1}}$<br /><br />$M = \frac{|-\frac{1}{3} - 10|}{\sqrt{\frac{13}{9}}}$<br /><br />$M = \frac{\frac{31}{3}}{\frac{\sqrt{13}}{3}}$<br /><br />$M = \frac{31}{\sqrt{13}}$<br /><br />Verilen mesafe $\sqrt{5}$ olduğuna göre, bu ifadeyi $\sqrt{5}$'e eşitleyelim:<br />$\frac{31}{\sqrt{13}} = \sqrt{5}$<br /><br />Bu denklemi çözdüğümüzde, $c$'nin değerini bulabiliriz:<br />$c = 2\sqrt{13} - 4$<br /><br />Dolayısıyla, $c$'nin değeri $2\sqrt{13} - 4$ olacaktır.