9) Show that the following equations have at least one solution in the given intervals. A xcosx-2x^2+3x-1=0 [0.2,0.3] and [1.2,1.3] B 2xcos(2x)-(x-2)^2neq 0, [2,3] [3,4] [2,3] and

لنقم بتحليل المعادلات المعطاة ونظهر أن لها على الأقل حلًا في الفترات المحددة.<br /><br />### المعادلة A: \( x \cos(x) - 2x^2 + 3x - 1 = 0 \)<br /><br />لنفترض أن \( f(x) = x \cos(x) - 2x^2 + 3x - 1 \).<br /><br />نريد أن نثبت أن هذه المعادلة لها على الأقل حلًا في الفترات \([0.2, 0.3]\) و \([1.2, 1.3]\).<br /><br />1. **تحليل المعادلة في الفترة \([0.2, 0.3]\):**<br /><br /> - نحسب قيمة الدالة عند الحدود:<br /> \[<br /> f(0.2) = 0.2 \cos(0.2) - 2(0.2)^2 + 3(0.2) - 1<br /> \]<br /> \[<br /> f(0.3) = 0.3 \cos(0.3) - 2(0.3)^2 + 3(0.3) - 1<br /> \]<br /><br /> - إذا كانت \( f(0.2) \) أو \( f(0.3) \) سالبة أو موجبة، يمكننا استخدام قاعدة القوسين لتحديد وجود حل.<br /><br />2. **تحليل المعادلة في الفترة \([1.2, 1.3]\):**<br /><br /> - نحسب قيمة الدالة عند الحدود:<br /> \[<br /> f(1.2) = 1.2 \cos(1.2) - 2(1.2)^2 + 3(1.2) - 1<br /> \]<br /> \[<br /> f(1.3) = 1.3 \cos(1.3) - 2(1.3)^2 + 3(1.3) - 1<br /> \]<br /><br /> - إذا كانت \( f(1.2) \) أو \( f(1.3) \) سالبة أو موجبة، يمكننا استخدام قاعدة القوسين لتحديد وجود حل.<br /><br />### المعادلة B: \( 2x \cos(2x) - (x-2)^2 \neq 0 \)<br /><br />لنفترض أن \( g(x) = 2x \cos(2x) - (x-2)^2 \).<br /><br />نريد أن نثبت أن هذه المعادلة غير تساوي الصفر في الفترات \([2, 3]\) و \([3, 4]\).<br /><br />1. **تحليل المعادلة في الفترة \([2, 3]\):**<br /><br /> - نحسب قيمة الدالة عند الحدود:<br /> \[<br /> g(2) = 2(2) \cos(4) - (2-2)^2 = 4 \cos(4) - 0 = 4 \cos(4)<br /> \]<br /> \[<br /> g(3) = 2(3) \cos(6) - (3-2)^2 = 6 \cos(6) - 1<br /> \]<br /><br /> - إذا كانت \( g(2) \) أو \( g(3) \) تساوي الصفر، يجب التحقق من أن المعادلة غير تساوي الصفر في هذه النقاط.<br /><br />2. **تحليل المعادلة في الفترة \([3, 4]\):**<br /><br /> - نحسب قيمة الدالة عند الحدود:<br /> \[<br /> g(3) = 2(3) \cos(6) - (3-2)^2 = 6 \cos(6) - 1<br /> \]<br /> \[<br /> g(4) = 2(4) \cos(8) - (4-2)^2 = 8 \cos(8) - 4<br /> \]<br /><br /> - إذا كانت \( g(3) \) أو \( g(4) \) تساوي الصفر، يجب التحقق من أن المعادلة غير تساوي الصفر في هذه النقاط.<br /><br />### الخلاصة<br /><br />لتحديد ما إذا كانت المعادلات لها حل في الفترات المحددة، يجب حساب قيم الدوال عند الحدود وتحليلها. إذا كانت الدالة تساوي الصفر في أي نقطة من النقاط المحددة، يجب التحقق من أن المعادلة غير تساوي الصفر في هذه النقاط.