10. Taniml oldugu x açis degerinde ((sec^2x+cosec^2x)cdot cos^2x)/(cot^2)x ifadesinin en sade hali aşağidakilerden hangisi- dir? A) 1 B) cosx C) sin^2x D) sec^2x E) cosec^2x

Verilen ifadeyi sadeleştirelim:<br /><br />\[<br />\frac{(sec^{2}x + cosec^{2}x) \cdot cos^{2}x}{cot^{2}x}<br />\]<br /><br />İlk olarak, \( sec^{2}x \) ve \( cosec^{2}x \) ifadelerini trigonometrik kimliklerine göre değiştirelim:<br /><br />\[<br />sec^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x} \quad \text{ve} \quad cosec^{2}x = \frac{1}{sin^{2}x}<br />\]<br /><br />Bu ifadeyi yerine koyarsak:<br /><br />\[<br />\frac{\left(\frac{1}{cos^{2}x} + \frac{1}{sin^{2}x}\right) \cdot cos^{2}x}{cot^{2}x}<br />\]<br /><br />Paydadaki \( cos^{2}x \) ifadelerini sadeleştirirsek:<br /><br />\[<br />\frac{\left(\frac{1}{cos^{2}x} + \frac{1}{sin^{2}x}\right) \cdot cos^{2}x}{cot^{2}x} = \frac{1 + \frac{cos^{2}x}{sin^{2}x}}{cot^{2}x}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1 + cot^{2}x}{cot^{2}x}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{cot^{2}x + 1}{cot^{2}x}<br />\]<br /><br />\[<br />= 1 + \frac{1}{cot^{2}x}<br />\]<br /><br />\[<br />= 1 + cot^{2}x<br />\]<br /><br />Sonuç olarak, verilen ifade \( 1 + cot^{2}x \) olur. Bu ifadeyi sadeleştirirsek:<br /><br />\[<br />1 + cot^{2}x = 1 + \frac{cos^{2}x}{sin^{2}x} = \frac{sin^{2}x + cos^{2}x}{sin^{2}x} = \frac{1}{sin^{2}x} = cosec^{2}x<br />\]<br /><br />Dolayısıyla, doğru cevap E) \( cosec^{2}x \) olur.