5. soru (20.00 puan) Uzayda noktasal bir hareketlinin koordinatlar. x(t)=t^3-4t^2+6t-7 y(t)=4t^3-2t^2+4 z(t)=2t^4-3t^2+2t olarak veriliyor. Buna gore bu hareketlinin t=2.0s inde ani hiz vektorünün büyuklügủ nedir? A) 86.61m/s B) 82.64m/s c) 67.23m/s D) 41.86m/s C E) 84.62m/s

Bu soruda, uzayda hareket eden bir noktayı tanımlayan fonksiyonlar verilmiş ve bu noktadan $t=2.0s$ anındaki ani hiz vektörünün büyüklüğünü bulmamız istenmektedir.<br /><br />Ani hiz vektörü, hareketliğin zamanla değişen hız vektörüdür. Bu vektör, hareketliğin hız fonksiyonlarının türevi alınarak bulunur.<br /><br />Verilen fonksiyonlara göre, $x(t)$, $y(t)$ ve $z(t)$ fonksiyonlarının türevlerini alarak ani hiz vektörünü bulabiliriz:<br /><br />$\frac{dx}{dt} = 3t^2 - 8t + 6$<br />$\frac{dy}{dt} = 12t^2 - 4t$<br />$\frac{dz}{dt} = 8t^3 - 6t + 2$<br /><br />$ t=2.0s$ için bu fonksiyonların değerlerini alarak ani hiz vektörünü bulabiliriz:<br /><br />$\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=2.0s} = 3(2.0)^2 - 8(2.0) + 6 = 4$<br />$\frac{dy}{dt}\bigg|_{t=2.0s} = 12(2.0)^2 - 4(2.0) = 40$<br />$\frac{dz}{dt}\bigg|_{t=2.0s} = 8(2.0)^3 - 6(2.0) + 2 = 60$<br /><br />Bu değerleri kullanarak ani hiz vektörünün büyüklüğünü bulabiliriz:<br /><br />$\sqrt{(\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=2.0s})^2 + (\frac{dy}{dt}\bigg|_{t=2.0s})^2 + (\frac{dz}{dt}\bigg|_{t=2.0s})^2} = \sqrt{4^2 + 40^2 + 60^2} = \sqrt{16 + 1600 + 3600} = \sqrt{4316} \approx 82.64m/s$<br /><br />Dolayısıyla, doğru cevap B) $82.64m/s$ olacaktır.