Uzayda noktasal bir hareketlinin koordinatlan, x(t)=t^3-4t^2+6t-7 y(t)=4t^3-2t^2+4 z(t)=2t^4-3t^2+2t olarak veriliyor. Buna gore bu hareketlinin t=2.0s inde ani hư vektôrủnủn bủyúklủgủ nedir? A) . 86.61m/s B) 82.64m/s 67.23m/s D) 41.86m/s E) 84.62m/s

Bu soruda, uzayda noktasal bir hareketlinin koordinatları verilmiş ve bu hareketlinin $t=2.0s$ inde ani hız vektörünün büyüklüğünü bulmamız istenmektedir.<br /><br />Verilen koordinatlar:<br />$x(t)=t^{3}-4t^{2}+6t-7$<br />$y(t)=4t^{3}-2t^{2}+4$<br />$z(t)=2t^{4}-3t^{2}+2t$<br /><br />Ani hız vektörü, hareketin zamanla değişen hızını temsil eder ve her bir koordinat için ayrı ayrı hesaplanmalıdır. Ani hız vektörü, her bir koordinat için zamanın türevi alınarak bulunur.<br /><br />$x'(t) = 3t^{2} - 8t + 6$<br />$y'(t) = 12t^{2} - 4t$<br />$z'(t) = 8t^{3} - 6t + 2$<br /><br />Şimdi, $t=2.0s$ inde ani hız vektörünü hesaplayalım:<br /><br />$x'(2.0) = 3(2.0)^{2} - 8(2.0) + 6 = 12 - 16 + 6 = 2$<br />$y'(2.0) = 12(2.0)^{2} - 4(2.0) = 48 - 8 = 40$<br />$z'(2.0) = 8(2.0)^{3} - 6(2.0) + 2 = 64 - 12 + 2 = 54$<br /><br />Ani hız vektörü, $x$, $y$ ve $z$ koordinatlarındaki ani hızların toplamıdır:<br /><br />$\vec{v}' = x'(t)\hat{i} + y'(t)\hat{j} + z'(t)\hat{k}$<br /><br />$= 2\hat{i} + 40\hat{j} + 54\hat{k}$<br /><br />Ani hız vektörünün büyüklüğü, vektörün her bir bileşeniyle hesaplanan karelerinin toplamının karekökü alınarak bulunur:<br /><br />$|\vec{v}'| = \sqrt{(2)^{2} + (40)^{2} + (54)^{2}} = \sqrt{4 + 1600 + 2916} = \sqrt{4620} \approx 67.83$<br /><br />Dolayısıyla, doğru cevap C) $67.23m/s$ değil, $67.83m/s$ olacaktır.