1. (OC1-6 ,PC1-2) Sabit ivmeli hareket yapan bir cisim t=0 aninda orijinden overrightarrow (v_(0))=(3hat (i)+hat (j)+hat (k))m/s ilk hiziyla harekete basllyor. Cisim t=2s aninda ise overrightarrow (v)=(7hat (i)-5hat (j)+3hat (k))m/s hizina sahip oluyor. Buna gore, a) Cismin ivme vektōrúnu bularak ivmenin búyúklugünu hesaplayiniz. b) t=2s aninda cismin konum vektórünu bulunuz. c) t=2s aninda cismin hiz vektóru ile konum vektoru arasindaki açryi skaler carpimi kullanarak bulunuz.

a) Cismin ivme vektörünü bulabilmek için, hız vektörünü zamanla çarpıp ivme vektörünü bulabiliriz. İvme vektörü, hız vektörünün zamanla çarpımına eşittir:<br /><br />$\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$<br /><br />Hız vektörünü $t=0$ anında $\overrightarrow{v_{0}}=(3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})m/s$ olarak biliyoruz. $t=2s$ anında ise $\overrightarrow{v}=(7\hat{i}-5\hat{j}+3\hat{k})m/s$ hıza sahip oluyor. Bu durumda, hız vektörünün zamanla değişimini hesaplayabiliriz:<br /><br />$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_{0}} + \overrightarrow{a}t$<br /><br />$\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{v} - \overrightarrow{v_{0}}}{t}$<br /><br />$\overrightarrow{a} = \frac{(7\hat{i}-5\hat{j}+3\hat{k}) - (3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{2}$<br /><br />$\overrightarrow{a} = \frac{(4\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k})}{2}$<br /><br />$\overrightarrow{a} = (2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})m/s^2$<br /><br />İvmenin büyüklüğü ise:<br /><br />$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \approx 3.74 \, m/s^2$<br /><br />b) Cismin konum vektörünü bulabilmek için, hız vektörünü zamanla çarpıp konum vektörünü bulabiliriz. Konum vektörü, hız vektörünün zamanla çarpımına eşittir:<br /><br />$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{v_{0}}t + \frac{1}{2}\overrightarrow{a}t^2$<br /><br />Konum vektörünü hesaplayabiliriz:<br /><br />$\overrightarrow{r} = (3\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})2 + \frac{1}{2}(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})2^2$<br /><br />$\overrightarrow{r} = (6\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) + \frac{1}{2}(4\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k})4$<br /><br />$\overrightarrow{r} = (6\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) + (8\hat{i}-12\hat{j}+4\hat{k})$<br /><br />$\overrightarrow{r} = (14\hat{i}-10\hat{j}+6\hat{k})m$<br /><br />c) Cismin hız vektörü ile konum vektörü arasındaki açryı skaler çarpımı kullanarak bulabiliriz:<br /><br />$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{r} = (7\hat{i}-5\hat{j}+3\hat{k}) \cdot (14\hat{i}-10\hat{j}+6\hat{k})$<br /><br />$= 7 \cdot 14 + (-5) \cdot (-10) + 3 \cdot 6$<br /><br />$= 98 + 50 + 18$<br /><br />$= 166$<br /><br />Bu çarpım, cismin hız vektörü ile konum vektörü arasındaki skaler çarpımıdır ve cismin hız vektörü ile konum vektörü arasındaki açryıdır.