5m/s hizla yukselen bir sicak hava balonu 100 m yúkseklikte iken bir paket balona gõre serbest birakiliyor. Paket yere düştüjunde balon yerden ne kadar yuksektedir. (g=10m/s^2almiz) 1 135 m 2 140 m 3 130 m 4 125 m 5 120 m

Öncelikle, paketin yere düşme süresini hesaplamamız gerekiyor. Paket serbest bırakıldığında, başlangıç hızı balona göre sıfırdır, ancak balonun yukarı doğru olan 5 m/s'lik hızını da hesaba katmamız gerekir. Yani, paket serbest bırakıldığında yukarı doğru 5 m/s hızla hareket etmektedir.<br /><br />Paketin yere düşme süresini bulmak için şu denklemi kullanabiliriz:<br /><br />\[ h = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]<br /><br />Burada:<br />- \( h = 100 \) metre (başlangıç yüksekliği),<br />- \( v_0 = -5 \) m/s (başlangıç hızı, negatif çünkü yukarı doğru),<br />- \( g = 10 \) m/s² (yerçekimi ivmesi).<br /><br />Denklemi yerine koyarsak:<br /><br />\[ 0 = 100 + (-5) \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 \]<br /><br />Bu denklemi çözelim:<br /><br />\[ 0 = 100 - 5t + 5t^2 \]<br /><br />\[ 5t^2 - 5t - 100 = 0 \]<br /><br />Bu bir ikinci dereceden denklem olup, çözmek için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:<br /><br />\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />Burada \( a = 5 \), \( b = -5 \), ve \( c = -100 \). Bu değerleri yerine koyarak:<br /><br />\[ t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-100)}}{2 \cdot 5} \]<br /><br />\[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 2000}}{10} \]<br /><br />\[ t = \frac{5 \pm \sqrt{2025}}{10} \]<br /><br />\[ t = \frac{5 \pm 45}{10} \]<br /><br />Pozitif kökü alırsak:<br /><br />\[ t = \frac{50}{10} = 5 \text{ saniye} \]<br /><br />Paketin yere düşmesi 5 saniye sürer. Şimdi balonun bu süre zarfında ne kadar yükseleceğini hesaplayalım. Balon sabit bir hızla yükseldiği için:<br /><br />\[ \text{Yükseklik artışı} = \text{hız} \times \text{süre} = 5 \, \text{m/s} \times 5 \, \text{saniye} = 25 \, \text{metre} \]<br /><br />Başlangıçta balon 100 metre yükseklikteydi, bu yüzden toplam yükseklik:<br /><br />\[ 100 \, \text{metre} + 25 \, \text{metre} = 125 \, \text{metre} \]<br /><br />Sonuç olarak, paket yere düştüğünde balon yerden 125 metre yüksekliktedir. Doğru cevap: 4) 125 m.