Exercice N^circ 4 La résultante de deux forces overrightarrow (F)_(1) et overrightarrow (F)_(2) est égale à 50 Net fait un angle de 30^circ avec la force F_(1)=15N . Trouver le module de la force overrightarrow (F)_(2) et l'angle entre les deux forces.

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les lois de l'addition des forces et les relations trigonométriques.<br /><br />1. **Utilisation de la loi de l'addition des forces:**<br /><br /> La résultante des forces \(\overrightarrow{F}_{1}\) et \(\overrightarrow{F}_{2}\) est donnée par:<br /><br /> \[<br /> \overrightarrow{F}_{\text{résultant}} = \overrightarrow{F}_{1} + \overrightarrow{F}_{2}<br /> \]<br /><br /> Le module de cette résultante est donné par:<br /><br /> \[<br /> |\overrightarrow{F}_{\text{résultant}}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos(\theta)}<br /> \]<br /><br /> Où \(\theta\) est l'angle entre \(\overrightarrow{F}_{1}\) et \(\overrightarrow{F}_{2}\).<br /><br /> On sait que le module de la résultante est 50 N et que \(\theta = 30^\circ\).<br /><br />2. **Expression de la résultante en termes de \(F_2\):**<br /><br /> \[<br /> 50 = \sqrt{15^2 + F_2^2 + 2 \cdot 15 \cdot F_2 \cdot \cos(30^\circ)}<br /> \]<br /><br /> Sachant que \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), nous pouvons réécrire l'équation:<br /><br /> \[<br /> 50 = \sqrt{15^2 + F_2^2 + 2 \cdot 15 \cdot F_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> 50 = \sqrt{225 + F_2^2 + 15 \cdot F_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> 50 = \sqrt{225 + F_2^2 + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot F_2}<br /> \]<br /><br />3. **Isolation de \(F_2\):**<br /><br /> Pour isoler \(F_2\), nous allons d'abord élever les deux côtés de l'équation au carré:<br /><br /> \[<br /> 50^2 = 225 + F_2^2 + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot F_2<br /> \]<br /><br /> \[<br /> 2500 = 225 + F_2^2 + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot F_2<br /> \]<br /><br /> \[<br /> 2500 - 225 = F_2^2 + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot F_2<br /> \]<br /><br /> \[<br /> 2275 = F_2^2 + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot F_2<br /> \]<br /><br /> Pour résoudre cette équation quadratique, nous allons réécrire l'équation sous forme standard:<br /><br /> \[<br /> 2F_2^2 + 15 \sqrt{3} \cdot F_2 - 4550 = 0<br /> \]<br /><br /> En utilisant la formule quadratique \(ax^2 + bx + c = 0\), où \(a = 2\), \(b = 15 \sqrt{3}\), et \(c = -4550\):<br /><br /> \[<br /> F_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> F_2 = \frac{-15 \sqrt{3} \pm \sqrt{(15 \sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4550)}}{2 \cdot 2}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> F_2 = \frac{-15 \sqrt{3} \pm \sqrt{675 - 4 \cdot 2 \cdot (-4550)}}{4}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> F_2 = \frac{-15 \sqrt{3} \pm \sqrt{675 + 18200}}{4}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> F_2 = \frac{-15 \sqrt{3} \pm \sqrt{18575}}{4}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> F_2 = \frac{-15 \sqrt{3} \pm 136.36}{4}<br /> \]<br /><br /> En prenant la solution positive (puisque le module d'une force ne peut pas être négatif):<br /><br /> \[<br /> F_2 =