Exercice 1: Le tambour d'une machine a laver est entraine par un moteur électrique La transmission du mouvement est assurée par une courrole tournant sans glissement. La fréquence de rotation du moteur est N_(A)=3000tr/min. La poulie du moteur a un diamètre D_(A)=10cm et celui de la poulie du tambour est D_(B)=40cm 1. Calculer la fréquence de rotation du moteur en tours par seconde. 2. Déterminer la vitesse angulaire ava du moteur en rad/s. 3. Calculer la vitesse linéaire d'un point de la courroie en m/s 4. Déterminer la vitesse angulaire ws du tambour. 5. En déduire la relation littérale entre les fréquences de rotation N_(A) et N_(B) du moteur et du tambour. Calculer No en tr/min 6. Calculer la vitesse d'un point de la circonférence du tambour de diamètre D_(L)=100cm

1. Pour calculer la fréquence de rotation du moteur en tours par seconde, nous devons convertir la fréquence de rotation en tours par seconde. La formule pour cela est : <br /><br />\[ f = \frac{N}{60} \]<br /><br />où f est la fréquence en hertz (tours par seconde) et N est la fréquence de rotation en tours par minute. <br /><br />En substituant les valeurs données, nous avons :<br /><br />\[ f = \frac{3000}{60} = 50 \, \text{tr/s} \]<br /><br />Donc, la fréquence de rotation du moteur est de 50 tours par seconde.<br /><br />2. Pour déterminer la vitesse angulaire du moteur en rad/s, nous utilisons la formule :<br /><br />\[ \omega = 2\pi f \]<br /><br />où ω est la vitesse angulaire en rad/s et f est la fréquence en hertz. <br /><br />En substituant les valeurs données, nous avons :<br /><br />\[ \omega = 2\pi \times 50 = 100\pi \, \text{rad/s} \]<br /><br />Donc, la vitesse angulaire du moteur est de 100π rad/s.<br /><br />3. Pour calculer la vitesse linéaire d'un point de la courroie en m/s, nous utilisons la formule :<br /><br />\[ v = \omega r \]<br /><br />où v est la vitesse linéaire en m/s, ω est la vitesse angulaire en rad/s et r est le rayon de la courroie en mètres. <br /><br />En substituant les valeurs données, nous avons :<br /><br />\[ v = 100\pi \times \frac{0.1}{2} = 5\pi \, \text{m/s} \]<br /><br />Donc, la vitesse linéaire d'un point de la courroie est de 5π m/s.<br /><br />4. Pour déterminer la vitesse angulaire du tambour, nous utilisons la relation de vitesse angulaire entre deux courroies en contact sans glissement :<br /><br />\[ \omega_{B} = \frac{D_{A}}{D_{B}} \times \omega_{A} \]<br /><br />où ωB est la vitesse angulaire du tambour en rad/s, DA et DB sont les diamètres des poulies du moteur et du tambour en mètres, respectivement, et ωA est la vitesse angulaire du moteur en rad/s. <br /><br />En substituant les valeurs données, nous avons :<br /><br />\[ \omega_{B} = \frac{0.1}{0.4} \times 100\pi = 25\pi \, \text{rad/s} \]<br /><br />Donc, la vitesse angulaire du tambour est de 25π rad/s.<br /><br />5. En utilisant la relation de vitesse angulaire entre les deux courroies, nous pouvons déduire la relation littérale entre les fréquences de rotation NA et NB du moteur et du tambour :<br /><br />\[ N_{B} = \frac{D_{A}}{D_{B}} \times N_{A} \]<br /><br />où NB est la fréquence de rotation du tambour en tr/min et NA est la fréquence de rotation du moteur en tr/min. <br /><br />En substituant les valeurs données, nous avons :<br /><br />\[ N_{B} = \frac{0.1}{0.4} \times 3000 = 750 \, \text{tr/min} \]<br /><br />Donc, la fréquence de rotation du tambour est de 750 tr/min.<br /><br />6. Pour calculer la vitesse d'un point de la circonférence du tambour de diamètre DL=100cm, nous utilisons la formule :<br /><br />\[ v = \omega r \]<br /><br />où v est la vitesse linéaire en m/s, ω est la vitesse angulaire en rad/s et r est le rayon du tambour en mètres. <br /><br />En substituant les valeurs données, nous avons :<br /><br />\[ v = 25\pi \times \frac{1}{2} = 12.5\pi \, \text{m/s} \]<br /><br />Donc, la vitesse d'un point de la circonférence du tambour de diamètre 100cm est de 12.5π m/s.