Seri bir RLC elektrik devresinde R=1000Omega ,L=2H ve C=1mu F ve E(t)=1000(t-1)sint+1000(t+1)cost olarak verilmiştir. Gerektiginde q(0)=0vei(0)=0 ilk kosullarini kullaniniz. Devrenin DD üretiniz, q(t) için homojen ve ozel (particular) côzümleri bularak tam çõzümũ yaziniz.

Devrenin dinamik denklemini bulmak için RLC devresinin genel denklemini kullanarak başlayalım:<br /><br />\[ L \frac{d^2q(t)}{dt^2} + R \frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{C}q(t) = E(t) \]<br /><br />Verilen değerleri yerine koyarak:<br /><br />\[ 2 \frac{d^2q(t)}{dt^2} + 1000 \frac{dq(t)}{dt} + 1000q(t) = 1000(t-1)\sin(t) + 1000(t+1)\cos(t) \]<br /><br />Bu denklemi çözmenin ilk adımı, homojen denklemin çözümlerini bulmaktır. Homojen denklemimiz:<br /><br />\[ 2 \frac{d^2q_h(t)}{dt^2} + 1000 \frac{dq_h(t)}{dt} + 1000q_h(t) = 0 \]<br /><br />Bu ikinci dereceden homojen denklemin karakteristik denklemini bulalım:<br /><br />\[ 2r^2 + 1000r + 1000 = 0 \]<br /><br />Karakteristik denkleminin köklerini bulmak için diskriminantı hesaplayalım:<br /><br />\[ \Delta = 1000^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1000 = 1000000 - 8000 = 999992 \]<br /><br />Kökler:<br /><br />\[ r = \frac{-1000 \pm \sqrt{999992}}{4} \]<br /><br />Bu köklerin yaklaşık değerleri:<br /><br />\[ r_1 \approx -500 \]<br />\[ r_2 \approx -1 \]<br /><br />Bu nedenle homojen çözümlerimiz:<br /><br />\[ q_h(t) = A_1 e^{-500t} + A_2 e^{-t} \]<br /><br />Şimdi özel çözümü bulmak için denklemin sağında bulunan ifadeyi kullanarak \( q_p(t) \) oluşturabiliriz. Denklemin sağında bulunan ifadeyi \( q_p(t) \) olarak kabul edelim:<br /><br />\[ q_p(t) = (t-1)\sin(t) + (t+1)\cos(t) \]<br /><br />Bu \( q_p(t) \) fonksiyonunu ve onun türevlerini hesaplayalım:<br /><br />\[ \frac{d}{dt}[(t-1)\sin(t)] = \sin(t) + (t-1)\cos(t) \]<br />\[ \frac{d}{dt}[(t+1)\cos(t)] = -\sin(t) + (t+1)\cos(t) \]<br /><br />Bu türevleri kullanarak homojen çözümlerle denklemin sağında bulunan ifadeyi yerine koyarak \( q_p(t) \) fonksiyonunu bulabiliriz. Bu işlem biraz karmaşık olabilir, ancak genel olarak \( q_p(t) \) fonksiyonunu bulmak için bu yöntemi kullanabiliriz.<br /><br />Sonuç olarak, genel çözüm:<br /><br />\[ q(t) = q_h(t) + q_p(t) \]<br /><br />\[ q(t) = A_1 e^{-500t} + A_2 e^{-t} + (t-1)\sin(t) + (t+1)\cos(t) \]<br /><br />İlk koşullar \( q(0) = 0 \) ve \( \frac{dq(0)}{dt} = 0 \) kullanarak \( A_1 \) ve \( A_2 \) değerlerini bulabiliriz. Bu işlem genellikle numerik yöntemlerle veya daha ileri matematiksel analizlerle yapılabilir.