T= (1,2),(1,4) ,S= (1,0) kümelerinin vektớr uzaylarinda lineer bagili (veya bagimsiz), üretici sistem(geren), taban(baz) olup olamadiklarini araştiriniz. i) V=R^2,F=R (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),lambda (a,b)=(lambda a,lambda b)

Verilen kümeler $T$ ve $S$ vektör uzayları üzerinde lineer bağımlılık veya bağımsız olup olmadığını belirlemek için, verilen vektörlerin lineer birlikteliğini inceleyelim.<br /><br />i) $V = \mathbb{R}^2$, $F = \mathbb{R}$<br /><br />Verilen vektörler:<br />$T = \{(1,2), (1,4)\}$ <br />$S = \{(1,0)\}$<br /><br />Bu vektörler üzerinde lineer bağımlılık veya bağımsız olup olmadığını inceleyelim.<br /><br />1. **Bağımlılık Testi:**<br /><br /> Vektörler $T$ ve $S$ arasında bağımlılık olup olmadığını belirlemek için, bir vektörün diğerlerinden lineer bir şekilde yazılabilir olup olmadığını kontrol edelim.<br /><br /> - $T$ kümünde:<br /> - $(1,2)$ ve $(1,4)$ vektörleri arasında bir bağımlılık olup olmadığını kontrol edelim.<br /> - $(1,4)$ vektörünü $(1,2)$ vektöründen lineer bir şekilde yazalım:<br /> $(1,4) = 1 \cdot (1,2) + 2 \cdot (0,2) = (1,2) + (0,4) = (1,2)$<br /> - Bu, $(1,4)$ vektörünün $(1,2)$ vektöründen lineer bir şekilde yazılabilmesi anlamına gelir. Dolayısıyla, $T$ kümünde bağımlılık vardır.<br /><br /> - $S$ kümünde:<br /> - $(1,0)$ vektörü üzerinde başka bir vektörün lineer bir şekilde yazılması mümkün mü?<br /> - $(1,2)$ vektörünü $(1,0)$ vektöründen lineer bir şekilde yazalım:<br /> $(1,2) = 1 \cdot (1,0) + 2 \cdot (0,1) = (1,0) + (0,2) = (1,0)$<br /> - Bu, $(1,2)$ vektörünün $(1,0)$ vektöründen lineer bir şekilde yazılabilmesi anlamına gelir. Dolayısıyla, $S$ kümünde bağımlılık vardır.<br /><br />2. **Bağımsızlık Testi:**<br /><br /> Vektörler $T$ ve $S$ arasında bağımsız olup olmadığını belirlemek için, bir vektörün diğerlerinden bağımsız olup olmadığını kontrol edelim.<br /><br /> - $T$ ve $S$ kümünde:<br /> - $(1,2)$ vektörünü $(1,0)$ vektöründen lineer bir şekilde yazalım:<br /> $(1,2) = 1,0) + 2 \cdot (0,1) = (1,0) + (0,2) = (1,0)$<br /> - Bu, $(1,2)$ vektörünün $(1,0)$ vektöründen lineer bir şekilde yazılabilmesi anlamına gelir. Dolayısıyla, $T$ ve $S$ kümünde bağımlılık vardır.<br /><br />Sonuç olarak, $T$ ve $S$ kümeleri arasında bağımlılık vardır. Bu kümeler lineer bağımsız değildir.