1. cin R olmak üzere X rassal değişkeninin 1, 2, 34 ve 5 değerlerini P(X=x)=cx x=1,2,3,4,5 olasilik fonksiyonu ile aldiğini varsayalim. Buna gõre a. P(2leqslant Xlt 4) olasiligini hesaplayiniz. b. X'in dağilim fonksiyonunu bulunuz. c. X'in beklenen değer ve varyansini hesaplayiniz. 2. cin R olmak üzere X rassal degişkeninin olasilik yoğunluk fonksiyonu f(x)=ce^x, 1lt xlt 2 seklinde tanimlaniyorsa a. P(Xgt 1,5) olasiligini hesaplayiniz. b. X'in dağilm fonksiyonunu bulunuz. c. X'in beklenen deger ve varyansini hesaplayiniz.

1. a. $P(2 \leq X < 4)$ olasiligini hesaplayiniz.<br /><br />Bu olasilik, $X$ değerleri 2 ve 3 olan olasiliklerin toplamını verir. Olasilik fonksiyonu $P(X=x) = cx$ olduğundan, $x = 2$ ve $x = 3$ için:<br /><br />$P(2 \leq X < 4) = P(X=2) + P(X=3) = 2c + 3c = 5c$<br /><br />b. $X$'in dağılım fonksiyonunu bulunuz.<br /><br />Dağılım fonksiyonu, $P(X=x)$ olasilik fonksiyonudur. Bu fonksiyon, $X$ değerleri 1, 2, 3, 4 ve 5 olan olasiliklerin toplamını verir. Olasilik fonksiyonu $P(X=x) = cx$ olduğundan, $x = 1, 2, 3, 4, 5$ için:<br /><br />$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = c(1) + c(2) + c(3) + c(4) + c(5) = 15c$<br /><br />Bu toplamın 1 olması gerektiğinden, $c = \frac{1}{15}$ olur. Bu nedenle, dağılım fonksiyonu:<br /><br />$P(X=x) = \frac{x}{15}, \quad x = 1, 2, 3, 4, 5$<br /><br />c. $X$'in beklenen değeri ve varyansını hesaplayiniz.<br /><br />Beklenen değer, $E(X)$, olasiliklerin çarpımlarının toplamıdır:<br /><br />$E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X=x) = \sum_{x} x \cdot \frac{x}{15} = \frac{1}{15} \sum_{x} x^2$<br /><br />Bu toplamı hesaplamak için $x = 1, 2, 3, 4, 5$ değerlerini kullanarak:<br /><br />$E(X) = \frac{1}{15} (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) = \frac{1}{15} (1 + 4 + 9 + 16 + 25) = \frac{55}{15} = \frac{11}{3}$<br /><br />Varyans, $Var(X)$, beklenen değerden sapmaların kareslerinin ortalamasıdır:<br /><br />$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$<br /><br />$E(X^2) = \frac{1}{15} \sum_{x} x^2 = \frac{1}{15} (1 + 4 + 9 + 16 + 25) = \frac{55}{15} = \frac{11}{3}$<br /><br />$[E(X)]^2 = \left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9}$<br /><br />$Var(X) = \frac{11}{3} - \frac{121}{9} = \frac{33}{9} - \frac{121}{9} = -\frac{88}{9}$<br /><br />2. a. $P(X > 1.5)$ olasiligini hesaplayiniz.<br /><br />Bu olasilik, $X$ değerleri 1.5'ten büyük olan olasiliklerin toplamını verir. Olasilik yoğunluk fonksiyonu $f(x) = ce^x$ olduğundan, $x > 1.5$ için:<br /><br />$P(X > 1.5) = \int_{1.5}^{\infty} ce^x \, dx$<br /><br />Bu integralin değeri sonsuz olduğu için, $P(X > 1.5) = 1 - P(X \leq 1.5) = 1 - \int_{-\infty}^{1.5} ce^x \, dx$<br /><br />Bu integrali hesaplamak için $x = 1.5$ ve $x = -\infty$ değerlerini kullanarak:<br /><br />$P(X \leq 1.5) = \int_{-\infty}^{1.5} ce^x \, dx = c \int_{-\infty}^{1.5} e^x \, dx = c(e^{1.5} - 1)$<br /><br />$P(X > 1.5) = 1 - c(e^{1.5} - 1)$<br /><br />b. $X$'in dağılım fonksiyonunu bulunuz.<br /><br />Dağılım fonksiyonu, $f(x