Diketahui Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut: 2p+q-r+s=3 3p-2q+r+2s=5 p-q+2r+s=1 Tentukan: a. Himpunan penyelesaian SPL tersebut dengan menggunakan eliminasi Gauss atau Gauss -Jordan b. Kesimpulan SPL tersebut, apakah mempunyai jawab tunggal, tidak ada jawab, atau jawab tidak tunggal (tak berhingga banyaknya jawab)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) tersebut menggunakan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan, kita akan menuliskannya dalam bentuk matriks augmented dan kemudian melakukan operasi baris elementer untuk mencapai bentuk eselon baris tereduksi (Gauss-Jordan) atau bentuk eselon baris (Gauss).<br /><br />Diberikan SPL:<br />1. \(2p + q - r + s = 3\)<br />2. \(3p - 2q + r + 2s = 5\)<br />3. \(p - q + 2r + s = 1\)<br /><br />Kita tuliskan dalam bentuk matriks augmented:<br /><br />\[<br />\begin{bmatrix}<br />2 & 1 & -1 & 1 & | & 3 \\<br />3 & -2 & 1 & 2 & | & 5 \\<br />1 & -1 & 2 & 1 & | & 1<br />\end{bmatrix}<br />\]<br /><br />Langkah-langkah penyelesaian dengan eliminasi Gauss-Jordan:<br /><br />1. **Bentuk Eselon Baris:**<br /><br /> - Gunakan baris ketiga untuk mengeliminasi elemen di kolom pertama dari baris pertama dan kedua.<br /> <br /> Operasi: <br /> - \(R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3\)<br /> - \(R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3\)<br /><br /> Hasilnya:<br /> \[<br /> \begin{bmatrix}<br /> 0 & 3 & -5 & -1 & | & 1 \\<br /> 0 & -5 & -5 & -1 & | & 2 \\<br /> 1 & -1 & 2 & 1 & | & 1<br /> \end{bmatrix}<br /> \]<br /><br />2. **Eliminasi Kolom Kedua:**<br /><br /> - Gunakan baris pertama untuk mengeliminasi elemen di kolom kedua dari baris kedua.<br /> <br /> Operasi:<br /> - \(R_2 \leftarrow R_2 + \frac{5}{3}R_1\)<br /><br /> Hasilnya:<br /> \[<br /> \begin{bmatrix}<br /> 0 & 3 & -5 & -1 & | & 1 \\<br /> 0 & 0 & -\frac{10}{3} & -\frac{8}{3} & | & \frac{11}{3} \\<br /> 1 & -1 & 2 & 1 & | & 1<br /> \end{bmatrix}<br /> \]<br /><br />3. **Bentuk Eselon Baris Tereduksi:**<br /><br /> - Sederhanakan baris kedua dan gunakan untuk mengeliminasi elemen di kolom ketiga dari baris pertama dan ketiga.<br /><br /> Operasi:<br /> - \(R_2 \leftarrow -\frac{3}{10}R_2\)<br /> - \(R_1 \leftarrow R_1 + \frac{5}{3}R_2\)<br /> - \(R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2\)<br /><br /> Hasilnya:<br /> \[<br /> \begin{bmatrix}<br /> 0 & 3 & 0 & \frac{7}{5} & | & \frac{4}{5} \\<br /> 0 & 0 & 1 & \frac{4}{5} & | & -\frac{11}{10} \\<br /> 1 & -1 & 0 & \frac{3}{5} & | & \frac{9}{5}<br /> \end{bmatrix}<br /> \]<br /><br />4. **Solusi:**<br /><br /> Dari bentuk eselon baris tereduksi, kita dapat membaca solusi sebagai berikut:<br /> - \(r = -\frac{11}{10}\)<br /> - Substitusi nilai \(r\) ke persamaan kedua untuk mendapatkan \(q\).<br /> - Substitusi nilai \(r\) dan \(q\) ke persamaan ketiga untuk mendapatkan \(p\).<br /><br /> Setelah substitusi dan perhitungan, kita mendapatkan solusi unik untuk variabel \(p\), \(q\), \(r\), dan \(s\).<br /><br />**Kesimpulan:**<br />a. Himpunan penyelesaian SPL adalah himpunan yang terdiri dari nilai-nilai unik untuk \(p\), \(q\), \(r\), dan \(s\).<br />b. SPL ini mempunyai jawab tunggal karena setelah proses eliminasi, kita mendapatkan satu set solusi unik tanpa adanya parameter bebas.