Bir ABC ocgeninin kenarlari a, b ve c olmak Ozere, (a)/(6)=(b)/(9)=(c)/(sqrt (15)) eşitligi veriliyor. Buna gore, B açisinin cosinüs degerl kaçtir? D) (sqrt (15))/(5) A) (6)/(sqrt (15)) B) -(sqrt (15))/(6) C) -(sqrt (15))/(5) E) (1)/(2)

Verilen eşitlikten, kenar uzunlukları arasındaki oranları bulabiliriz:<br /><br />\[<br />\frac{a}{6} = \frac{b}{9} = \frac{c}{\sqrt{15}}<br />\]<br /><br />Bu orantılar, kenar uzunluklarını şu şekilde ifade eder:<br /><br />\[<br />a = k \cdot 6, \quad b = k \cdot 9, \quad c = k \cdot \sqrt{15}<br />\]<br /><br />Burada \( k \) bir sabit katsaydır. Üçgenin kenarları bu orantılara göre belirlenir. Üçgenin cosinüs teoremi, herhangi bir açının cosinüsünü bulmak için kullanılır. Üçgenin cosinüs teoremi şu şekilde ifade edilir:<br /><br />\[<br />\cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}<br />\]<br /><br />Bu formülü kullanarak, \( B \) açısının cosinüsünü bulabiliriz. Öncelikle kenar uzunluklarını \( k \) sabitini kullanarak ifade edelim:<br /><br />\[<br />a = 6k, \quad b = 9k, \quad c = k\sqrt{15}<br />\]<br /><br />Şimdi cosinüs formülüyle \( B \) açısının cosinüsünü hesaplayalım:<br /><br />\[<br />\cos(B) = \frac{(6k)^2 + (k\sqrt{15})^2 - (9k)^2}{2 \cdot (6k) \cdot (k\sqrt{15})}<br />\]<br /><br />Bu formülü sadeleştirerek:<br /><br />\[<br />\cos(B) = \frac{36k^2 + 15k^2 - 81k^2}{12k^2\sqrt{15}}<br />\]<br /><br />\[<br />\cos(B) = \frac{36 + 15 - 81}{12\sqrt{15}}<br />\]<br /><br />\[<br />\cos(B) = \frac{-30}{12\sqrt{15}}<br />\]<br /><br />\[<br />\cos(B) = \frac{-5}{2\sqrt{15}}<br />\]<br /><br />Bu ifadeyi daha da sadeleştirirsek:<br /><br />\[<br />\cos(B) = -\frac{5\sqrt{15}}{30}<br />\]<br /><br />\[<br />\cos(B) = -\frac{\sqrt{15}}{6}<br />\]<br /><br />Bu da bize doğru cevap olan seçeneği verir:<br /><br />C) \(-\frac{\sqrt{15}}{5}\)<br /><br />Ancak, verilen seçeneklerde bu doğru cevap bulunmadığından, doğru cevap şu şekilde yazılabilir:<br /><br />\[<br />\cos(B) = -\frac{\sqrt{15}}{6}<br />\]<br /><br />Bu da bize doğru cevap olan seçeneği verir:<br /><br />B) \(-\frac{\sqrt{15}}{6}\)