1) Donner la valeur de vérité et la négation des propositions suivantes : R:surd 4=-2ou6+4=10 s (Vxin Z)(exists yin Z);x-y=6 2) Soit ain R , montrer que vert a-2vert lt (2)/(3)Leftrightarrow (1)/(10)lt (1)/(3a+2)lt (1)/(6) 3) En utilisant le raisonnement par récurrence , Montrer que : then 1:1+5............................................................ (Vnin N^ast ):3^2n+1+2^n+2 divisible par 7. (forall xin N):(1+a)^ngeqslant 1+na (Vnin N):4^n-1 est un multiple de 3 ; (Vnin N) :6 divise n(n^2+5) 4) En utilisant le raisonnement par la contraposée , montrer que : (forall xin R- -1 );xneq (1)/(2)Longrightarrow (3x)/(x+1)neq 1 5) En utilisant le raisonnement par l'absurde , montrer que ; (nabla xin R);(2x+1)/(x-5)neq 2 6) par disjonction des cas,montrer que : (Vnin N)cdot (4divisen^2)ou(4divisen^2-1) 7) Résoudre dans R l'équation suivante ; vert xvert +5=3x

1) Pour la première question, nous devons donner la valeur de vérité et la négation des propositions suivantes :<br /><br />a) $R: \sqrt{4} = -2$ ou $6 + 4 = 10$<br /><br />La valeur de vérité de cette proposition est Faux, car $\sqrt{4}$ est égal à 2 et non à -2, et $6 + 4$ est égal à 10.<br /><br />La négation de cette proposition serait : $\neg R: \sqrt{4} \neq -2$ et $6 + 4 \neq 10$.<br /><br />b) $S: (\forall x \in \mathbb{Z})(\exists y \in \mathbb{Z}): x - y = 6$<br /><br />La valeur de vérité de cette proposition est Vrai, car pour tout entier $x$, il existe un entier $y$ tel que $x - y = 6$.<br /><br />La négation de cette proposition serait : $\neg S: (\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}): x - y \neq 6$.<br /><br />2) Pour la deuxième question, nous devons montrer que :<br /><br />$\vert a - 2 \vert < \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{10} < \frac{1}{3a + 2} < \frac{1}{6}$<br /><br />Pour montrer cette équivalence, nous devons montrer que chaque implication est vraie.<br /><br />a) Montrons que $\vert a - 2 \vert < \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{1}{10} < \frac{1}{3a + 2} < \frac{1}{6}$<br /><br />Si $\vert a - 2 \vert < \frac{2}{3}$, alors $-\frac{2}{3} < a - 2 < \frac{2}{3}$.<br /><br />En ajoutant 2 à tous les côtés de l'inégalité, nous obtenons $-\frac{2}{3} + 2 < a < \frac{2}{3} + 2$, c'est-à-dire $\frac{4}{3} < a < \frac{8}{3}$.<br /><br />Donc, $\frac{1}{3a + 2}$ est bien compris entre $\frac{1}{10}$ et $\frac{1}{6}$.<br /><br />b) Montrons que $\frac{1}{10} < \frac{1}{3a + 2} < \frac{1}{6} \Rightarrow \vert a - 2 \vert < \frac{2}{3}$<br /><br />Si $\frac{1}{10} < \frac{1}{3a + 2} < \frac{1}{6}$, alors $10(3a + 2) > 10$ et $10(3a + 2) < 60$.<br /><br />Ce qui donne $30a + 20 > 10$ et $30a + 20 < 60$.<br /><br />En soustrayant 20 des deux côtés de l'inégalité, nous obtenons $30a > -10$ et $30a < 40$.<br /><br />En divisant par 30, nous obtenons $a > -\frac{1}{3}$ et $a < \frac{4}{3}$.<br /><br />Donc, $\vert a - 2 \vert < \frac{2}{3}$.<br /><br />Ainsi, nous avons montré que $\vert a - 2 \vert < \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{10} < \frac{1}{3a + 2} < \frac{1}{6}$.<br /><br />3) Pour la troisième question, nous devons montrer que :<br /><br />$(\forall n \in \mathbb{N}^{\ast}): 3^{2n+1} + 2^{n+2}$ est divisible par 7<br /><br />Pour cela, nous allons utiliser le raisonnement par récurrence.<br /><br />a) Initialisation :<br /><br />Pour $n = 1$, $3^{2(1)+1} + 2^{(1)+2} = 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$, qui est divisible par 7.<br /><br />Donc, la propriété est vraie pour $n = 1$.<br /><br />b) Hypothèse de récurrence :<br /><br />Supposons que la propriété soit vraie pour un certain $n \in \mathbb{N}^{\ast}$, c'est-à-dire que $3^{2n+1} + 2^{n+2}$ est divisible par