14. Hasan Oğretmen tahtaya kaldirdiği ôğren- cilerinden Zeynep ile Elife birer dogal sayi sôyleyip bu sayilari asal carpanlarinin çarpi- mi biçiminde yazmalarini istiyor. Hasan Ôgretmen'in ogrencilerine sốyle- diği sayilarla ilgili; Elife sôyledigi sayi Zeynep'e sỏyledigi sayinin 72 katina eşittir. Zeynep kendisine sõylenen saylyi 2^4cdot 3^2cdot 5^3 seklinde doğru olarak asal car. panlarin çarpimi biçiminde yazmiştir. bilgilerine gōre, Elif'in ôgretmenine ver. mesi gereken doğru cevap aşağjidakiler- den hangisidir? A) 2^5cdot 3^4cdot 5^3 B) 2^7cdot 3^4cdot 5^3 C) 2^12cdot 3^4cdot 5^3 D) 2^7cdot 3^4cdot 5^5

Elife'nin sınıfta öğrettildiği sayı Zeynep'in sınıfta öğrettildiği sayının 72 katına eşittir. Zeynep'in öğretttiği sayı \(2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3}\) şeklinde asal çarpanlarımın çarpımı olarak verilmiştir. Bu durumda, Elife'nin öğretttiği sayıyı bulmak için Zeynep'in öğretttiği sayının 72 katı olmasını sağlamalıyız.<br /><br />Zeynep'in öğretttiği sayıyı \(x\) olarak kabul edelim. Bu durumda, Elife'nin öğretttiği sayı \(72x\) olacaktır. <br /><br />Zeynep'in öğretttiği sayının asal çarpanları \(2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3}\) olduğuna göre, Elife'nin öğretttiği sayının asal çarpanları da bu çarpanların çarpımı ile 72 katı olacak şekilde olmalıdır.<br /><br />72'nin asal çarpanları \(2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}\) olduğundan, Elife'nin öğretttiği sayının asal çarpanları da bu çarpanların çarpımı ile çarpılmış olmalıdır.<br /><br />Bu durumda, Elife'nin öğretttiği sayının asal çarpanları \(2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \cdot 72\) olacaktır.<br /><br />Bu çarpımı hesaplayalım:<br /><br />\(2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \cdot 72 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \cdot (2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}) = 2^{4+3} \cdot 3^{2+2} \cdot 5^{3+1} = 2^{7} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4}\)<br /><br />Bu durumda, Elife'nin öğretttiği sayı \(2^{7} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4}\) olacaktır.<br /><br />Doğru cevap D) \(2^{7} \cdot 3^{4} \cdot 5^{5}\) olacaktır.