A(-2,12), B(-6,6) ve C(0,m) noktalar veriliyor. vert ACvert +vert BCvert toplaminin en kúcủik degerini almasi için m kaç olmalidir? A) 8,5 B) 9 C) 9,5 D) 10 E) 10,5

Verilen noktalar $A(-2,12)$, $B(-6,6)$ ve $C(0,m)$'dir. $\vert AC\vert +\vert BC\vert $ toplamının en küçük değeri almak için $m$ kaç olmalıdır?<br /><br />Bu soruyu çözmek için, her iki noktadan $C$ noktasına olan uzaklıkların toplamını bulmamız gerekiyor. $A$ ve $C$ noktaları arasındaki uzaklık formülü $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ile hesaplanır.<br /><br />$A$ ve $C$ noktaları arasındaki uzaklık:<br />$\vert AC\vert = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (m} = \sqrt{4 + (m - 12)^2}$<br /><br />$B$ ve $C$ noktaları arasındaki uzaklık:<br />$\vert BC\vert = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (m - 6)^2} = \sqrt{36 + (m - 6)^2}$<br /><br />$\vert AC\vert +\vert BC\vert $ toplamının en küçük değeri almak için, bu iki uzunluğun toplamı minimum olmalıdır. Bu durumu sağlamak için, $(m - 12)^2$ ve $(m - 6)^2$ ifadelerinin toplamı minimum olmalıdır.<br /><br />$(m - 12)^2 + (m - 6)^2$ ifadesini açalım:<br />$(m - 12)^2 + (m - 6)^2 = m^2 - 24m + m - 12m + 36 = 2m^2 - 36m + 180$<br /><br />Bu ifadeyi minimuma getirmek için, $m$ değerini bulmamız gerekiyor. Bu ikinci dereceden bir denklem olduğu için, $m$ değerini bulmak için türevini alabiliriz ve sıfırla eşitleyebiliriz.<br /><br />$\frac{d}{dm}(2m^2 - 36m + 180) = 4m - 36$<br /><br />Bu ifadeyi sıfırlayalım:<br />$4m - 36 = 0$<br /><br />$m = 9$<br /><br />Dolayısıyla, $\vert AC\vert +\vert BC\vert $ toplamının en küçük değeri almak için $m$ değeri 9 olmalıdır.<br /><br />Doğru cevap: B) 9