1. s(t)=t^-t3^tt^2 ise (ds)/(dt)(1)= ? ( ( 2 (x+2)^y-y^x+2arrow y'(-1)-

1. $s(t)=t^{-t}3^{t}t^{2}$ ise $\frac {ds}{dt}(1)=$?<br /><br />Bu soruda, $s(t)$ fonksiyonunun $t$ göre türevini bulmamız istenmektedir. $s(t)$ fonksiyonunu türev alalım:<br /><br />$s'(t) = \frac{d}{dt}(t^{-t}3^{t}t^{2})$<br /><br />Bu ifadeyi türevlemek için, her bir bileşeni ayrı ayrı türevleyebiliriz:<br /><br />$s'(t) = \frac{d}{dt}(t^{-t}) + \frac{d}{dt}(3^{t}) + \frac{d}{dt}(t^{2})$<br /><br />Bu ifadeleri türevleyelim:<br /><br />$\frac{d}{dt}(t^{-t}) = -t^{-t-1} + t^{-t-1} \ln(t)$<br /><br />$\frac{d}{dt}(3^{t}) = 3^{t} \ln(3)$<br /><br />$\frac{d}{dt}(t^{2}) = 2t$<br /><br />Bu ifadeleri yerine koyarak, $s'(t)$ fonksiyonunu bulalım:<br /><br />$s'(t) = -t^{-t-1} + t^{-t-1} \ln(t) + 3^{t} \ln(3) + 2t$<br /><br />Şimdi, $t=1$ değerini yerine koyarak, $s'(1)$ değerini bulalım:<br /><br />$s'(1) = -1^{-1-1} + 1^{-1-1} \ln(1) + 3^{1} \ln(3) + 2(1)$<br /><br />$= -1^{-2} + 1^{-2} \cdot 0 + 3 \ln(3) + 2$<br /><br />$= -1 + 0 + 3 \ln(3) + 2$<br /><br />$= 1 + 3 \ln(3)$<br /><br />Sonuç olarak, $\frac{ds}{dt}(1) = 1 + 3 \ln(3)$<br /><br />2. $(x+2)^{y}-y^{x+2}\rightarrow y'(-1)-$<br /><br />Bu soruda, $(x+2)^{y}-y^{x+2}$ fonksiyonunun $x$ göre türevini bulmamız istenmektedir. Bu ifadeyi türevlemek için, her bir bileşeni ayrı ayrı türevleyebiliriz:<br /><br />$\frac{d}{dx}((x+2)^{y}) - \frac{d}{dx}(y^{x+2})$<br /><br />Bu ifadeleri türevleyelim:<br /><br />$\frac{d}{dx}((x+2)^{y}) = y(x+2)^{y-1} \cdot \frac{d}{dx}(x+2)$<br /><br />$\frac{d}{dx}(y^{x+2}) = y^{x+2} \cdot \frac{d}{dx}(x+2) + (x+2) \cdot y^{x+2} \cdot \frac{d}{dx}(y)$<br /><br />Şimdi, $x=-1$ değerini yerine koyarak, $y'(-1)$ değerini bulalım:<br /><br />$y'(-1) = y(-1+2)^{y-1} \cdot \frac{d}{dx}(x+2) - y^{x+2} \cdot \frac{d}{dx}(x+2) - (x+2) \cdot y^{x+2} \cdot \frac{d}{dx}(y)$<br /><br />$= y(1)^{y-1} \cdot 1 - y^{x+2} \cdot 1 - (x+2) \cdot y^{x+2} \cdot \frac{d}{dx}(y)$<br /><br />$= y - y^{x+2} - (x+2) \cdot y^{x+2} \cdot \frac{d}{dx}(y)$<br /><br />Sonuç olarak, $y'(-1) = y - y^{x+2} - (x+2) \cdot y^{x+2} \cdot \frac{d}{dx}(y)$