sqrt ((1+cos20^circ )/(1-cos20^circ ))+sqrt ((1-cos20^circ )/(1+cos20^circ )) isleminin sonucu a sağidakilerden hangisine esittir? A) 2cosec20^circ B) 2cosec70^circ C) sin20^circ D) 2cos20^circ E) 2sin20^circ

Verilen ifadeyi inceleyelim:<br /><br />\[<br />\sqrt{\frac{1+\cos 20^\circ}{1-\cos 20^\circ}} + \sqrt{\frac{1-\cos 20^\circ}{1+\cos 20^\circ}}<br />\]<br /><br />Bu ifadeyi daha basit bir hale getirmek için trigonometri kimliklerini kullanabiliriz. İlk olarak, aşağıdaki özdeşliği hatırlayalım:<br /><br />\[<br />1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta<br />\]<br />\[<br />1 + \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta<br />\]<br /><br />Burada \(\theta = 10^\circ\) alırsak, \(\cos 20^\circ = 2\cos^2 10^\circ - 1\) ve \(\sin 20^\circ = 2\sin 10^\circ \cos 10^\circ\) olur.<br /><br />Şimdi verilen ifadeyi yeniden yazalım:<br /><br />\[<br />\sqrt{\frac{1+\cos 20^\circ}{1-\cos 20^\circ}} = \sqrt{\frac{2\cos^2 10^\circ}{2\sin^2 10^\circ}} = \sqrt{\cot^2 10^\circ} = \cot 10^\circ<br />\]<br /><br />\[<br />\sqrt{\frac{1-\cos 20^\circ}{1+\cos 20^\circ}} = \sqrt{\frac{2\sin^2 10^\circ}{2\cos^2 10^\circ}} = \sqrt{\tan^2 10^\circ} = \tan 10^\circ<br />\]<br /><br />Dolayısıyla, ifade şu şekilde sadeleşir:<br /><br />\[<br />\cot 10^\circ + \tan 10^\circ<br />\]<br /><br />Bu toplamın değerini bulmak için, \(\cot 10^\circ = \frac{1}{\tan 10^\circ}\) olduğunu hatırlayarak:<br /><br />\[<br />\cot 10^\circ + \tan 10^\circ = \frac{1}{\tan 10^\circ} + \tan 10^\circ<br />\]<br /><br />Bu toplam, \(\csc 20^\circ\) ile ilişkilidir çünkü:<br /><br />\[<br />\csc 20^\circ = \frac{1}{\sin 20^\circ} = \frac{1}{2\sin 10^\circ \cos 10^\circ}<br />\]<br /><br />Sonuç olarak, bu toplam \(2\csc 20^\circ\)'ye eşittir. Bu nedenle doğru cevap:<br /><br />A) \(2\csc 20^\circ\)