19- f(x)=xln((x+1)/(x-1)) a=+infty

لحساب الحد من الدالة \( f(x) = x \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \) عندما \( x \) يقترب من \( +\infty \)، يمكننا اتباع الخطوات التالية:<br /><br />1. **تبسيط الدالة**:<br /> \[<br /> f(x) = x \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)<br /> \]<br /><br />2. **استخدام خاصية اللوغاريتم**:<br /> \[<br /> \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)<br /> \]<br /> لذا:<br /> \[<br /> \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \ln(x+1) - \ln(x-1)<br /> \]<br /><br />3. **إعادة كتابة الدالة**:<br /> \[<br /> f(x) = x \left( \ln(x+1) - \ln(x-1) \right)<br /> \]<br /><br />4. **تقسيم الدالة إلى جزئين**:<br /> \[<br /> f(x) = x \ln(x+1) - x \ln(x-1)<br /> \]<br /><br />5. **دراسة الحد لكل جزء على حدة**:<br /> - عندما \( x \to +\infty \):<br /> \[<br /> \ln(x+1) \approx \ln(x) \quad \text{و} \quad \ln(x-1) \approx \ln(x)<br /> \]<br /> لذا:<br /> \[<br /> x \ln(x+1) \approx x \ln(x) \quad \text{و} \quad x \ln(x-1) \approx x \ln(x)<br /> \]<br /><br />6. **حساب الحد**:<br /> \[<br /> \lim_{x \to +\infty} \left( x \ln(x+1) - x \ln(x-1) \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( x \ln(x) - x \ln(x) \right) = \lim_{x \to +\infty} 0 = 0<br /> \]<br /><br />إذاً، الحد من الدالة \( f(x) = x \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \) عندما \( x \to +\infty \) هو:<br />\[<br />\boxed{0}<br />\]