Uygun x değerleri için, (sin3xcdot cos6x+cos2xcdot sinx)/(sinx-sin9x) ifadesinin değeri kaçtir? A) -1 B) -(1)/(2) (1)/(2) D) 1 E) 2

Verilen ifadeyi inceleyelim:<br /><br />\[<br />\frac{\sin 3x \cdot \cos 6x + \cos 2x \cdot \sin x}{\sin x - \sin 9x}<br />\]<br /><br />Öncelikle, pay kısmındaki ifadeyi düzenleyelim. Trigonometrik çarpım toplam formüllerini kullanarak bu ifadeyi sadeleştirebiliriz.<br /><br />Paydaki ifade:<br />\[<br />\sin 3x \cdot \cos 6x + \cos 2x \cdot \sin x<br />\]<br /><br />Bu ifadeyi sinüs ve kosinüs toplam fark formülleri ile açabiliriz:<br />\[<br />\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]<br />\]<br />\[<br />\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) - \sin(A-B)]<br />\]<br /><br />Bu formülleri uygulayarak:<br />\[<br />\sin 3x \cdot \cos 6x = \frac{1}{2} [\sin(3x+6x) + \sin(3x-6x)] = \frac{1}{2} [\sin 9x + \sin(-3x)]<br />\]<br />\[<br />\cos 2x \cdot \sin x = \frac{1}{2} [\sin(2x+x) - \sin(2x-x)] = \frac{1}{2} [\sin 3x - \sin x]<br />\]<br /><br />Bu ifadeleri yerine koyarsak:<br />\[<br />\frac{1}{2} [\sin 9x + \sin(-3x)] + \frac{1}{2} [\sin 3x - \sin x]<br />\]<br /><br />Bu ifadeyi topladığımızda:<br />\[<br />\frac{1}{2} (\sin 9x - \sin 3x + \sin 3x - \sin x)<br />\]<br /><br />Burada \(\sin 3x\) terimleri birbirini götürür:<br />\[<br />\frac{1}{2} (\sin 9x - \sin x)<br />\]<br /><br />Şimdi pay ve paydayı yerine koyalım:<br />\[<br />\frac{\frac{1}{2} (\sin 9x - \sin x)}{\sin x - \sin 9x}<br />\]<br /><br />Bu ifadeyi sadeleştirirsek:<br />\[<br />\frac{1}{2} \cdot \frac{(\sin 9x - \sin x)}{(\sin x - \sin 9x)}<br />\]<br /><br />Burada \((\sin 9x - \sin x)\) ve \((\sin x - \sin 9x)\) birbirinin zıt işaretlisidir, dolayısıyla:<br />\[<br />\frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Sonuç olarak, ifadenin değeri \(-\frac{1}{2}\) olur. Doğru cevap B seçeneğidir.