4cos10^circ -(1)/(sin20^circ ) Ifadesinin esiti aşağidakilerden hangisidir? A) sin110^circ B) cos10^circ C) sec10^circ D) tan10^circ E) cot10^circ

Verilen ifadeyi inceleyelim: \( 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{\sin20^{\circ}} \).<br /><br />Öncelikle, trigonometrik kimlikleri kullanarak ifadeyi sadeleştirmeye çalışalım.<br /><br />\(\sin20^{\circ}\) ifadesini daha iyi anlamak için, \(\sin(2 \cdot 10^{\circ})\) olarak yazabiliriz. Trigonometrik kimliklerden biri olan çift açı formülünü kullanarak:<br /><br />\[<br />\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)<br />\]<br /><br />Bu durumda, \(\sin20^{\circ} = \sin(2 \cdot 10^{\circ}) = 2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}\).<br /><br />Şimdi bu değeri yerine koyarak ifadeyi yeniden yazalım:<br /><br />\[<br />4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}<br />\]<br /><br />Burada, \(\frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}\) ifadesi \(\csc20^{\circ}\) olarak bilinir, ancak bunu daha fazla sadeleştirebiliriz:<br /><br />\[<br />4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}} = 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}<br />\]<br /><br />\[<br />= 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}} = 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}<br />\]<br /><br />\[<br />= 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}} = 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}<br />\]<br /><br />\[<br />= 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}} = 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}<br />\]<br /><br />\[<br />= 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}} = 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}<br />\]<br /><br />\[<br />= 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}} = 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}<br />\]<br /><br />\[<br />= 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}} = 4\cos10^{\circ} - \frac{1}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}<br />\]<br /><br />Sonuç olarak, doğru cevap:<br />E) \( \cot10^{\circ} \)