xin (0,(pi )/(2)) olmak üzere; 3sinx-sin^2x=cos^2x+4cosx-1 olduguna gòre, sinx in degeri kaçtir? A) (5)/(13) B) (8)/(15) C) (3)/(5) D) (4)/(5) E) (15)/(17)

Verilen denklemi çözmek için, trigonometri kimliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştirelim. <br /><br />Denklemimiz:<br />\[ 3\sin x - \sin^2 x = \cos^2 x + 4\cos x - 1 \]<br /><br />Öncelikle, \(\cos^2 x\) ifadesini \(\sin^2 x\) cinsinden yazabiliriz:<br />\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \]<br /><br />Bu ifadeyi denklemde yerine koyarsak:<br />\[ 3\sin x - \sin^2 x = (1 - \sin^2 x) + 4\cos x - 1 \]<br /><br />Denklemi biraz daha düzenleyelim:<br />\[ 3\sin x - \sin^2 x = -\sin^2 x + 4\cos x \]<br /><br />Her iki taraftan \(-\sin^2 x\) terimini çıkaralım:<br />\[ 3\sin x = 4\cos x \]<br /><br />Buradan \(\sin x\) ve \(\cos x\) arasındaki ilişkiyi bulabiliriz:<br />\[ \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{4}{3} \]<br /><br />Bu oran, tanjant fonksiyonunu verir:<br />\[ \tan x = \frac{4}{3} \]<br /><br />Şimdi, \(\sin x\) ve \(\cos x\) değerlerini bulmak için bir dik üçgen düşünelim. Bu üçgende karşı kenar \(4k\), komşu kenar \(3k\) ve hipotenüs \(5k\) olur. Buradan:<br /><br />\[<br />\sin x = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}<br />\]<br /><br />Sonuç olarak, \(\sin x\) değeri \(\frac{4}{5}\) olur.<br /><br />Doğru cevap: D) \(\frac{4}{5}\)