2. cin R olmak üzere X rassal degiskeninin olasilik yoğunluk fonksiyonu f(x)=ce^x, 1lt xlt 2 seklinde tanimlanlyorsa a. P(Xgt 1,5) olasiligini hesaplayiniz. b. X'in dağilm fonksiyonunu bulunuz. c. X'in beklenen değer ve varyansini hesaplayiniz.

a. $P(X > 1.5)$ olasılığını hesaplayalım:<br /><br />Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x) = ce^x$ şeklindedir. Bu fonksiyonun bir integralini hesaplayarak sabitleyelim:<br /><br />$\int_{1}^{2} ce^x dx = c(e^2 - e)$<br /><br />Burada, $c$ sabitini bulmak için, olasılık yoğunluk fonksiyonunun toplamı 1 olmalıdır:<br /><br />$\int_{1}^{2} ce^x dx = 1$<br /><br />Bu denklemi çözelim:<br /><br />$c(e^2 - e) = 1$<br /><br />$c = \frac{1}{e^2 - e}$<br /><br />Bu sabitimizi kullanarak, $f(x)$ fonksiyonunu bulalım:<br /><br />$f(x) = \frac{e^x}{e^2 - e}$<br /><br />Şimdi, $P(X > 1.5)$ olasılığını hesaplayalım:<br /><br />$P(X > 1.5) = \int_{1.5}^{2} \frac{e^x}{e^2 - e} dx$<br /><br />Bu integrali hesaplamak için, bir sabit değişken kullanarak (örneğin, $u = e^x$) daha kolay olacaktır. Bu yöntemle, $P(X > 1.5)$ olasılığını bulabiliriz.<br /><br />b. $X$'in dağılım fonksiyonunu bulalım:<br /><br />$X$'in dağılım fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonunun integrali ile bulunur:<br /><br />$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f(x) dx$<br /><br />Bu integrali hesaplayarak, $X$'in dağılım fonksiyonunu bulabiliriz.<br /><br />c. $X$'in beklenen değeri ve varyansı hesaplayalım:<br /><br />Beklenen değer:<br /><br />$E(X) = \int_{1}^{2} x f(x) dx = \int_{1}^{2} x \frac{e^x}{e^2 - e} dx$<br /><br />Bu integrali hesaplayarak, $X$'in beklenen değerini bulabiliriz.<br /><br />Varyans:<br /><br />$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$<br /><br />$E(X^2) = \int_{1}^{2} x^2 f(x) dx = \int_{1}^{2} x^2 \frac{e^x}{e^2 - e} dx$<br /><br />Bu iki integrali hesaplayarak, $X$'in varyansını bulabiliriz.