(cosx)/(1-tanx)-(sinx)/(1-cotx) Ifadesi lakilerden hangisine esittir? A) cosx-sinx (1)/(cosx-sinx) C) cosx+sinx D) sinx.cosx E) sinx-cosx

Verilen ifadeyi sadeleştirelim:<br /><br />\[<br />\frac{\cos x}{1 - \tan x} - \frac{\sin x}{1 - \cot x}<br />\]<br /><br />Öncelikle, \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) ve \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\) olduğunu hatırlayalım. Bu bilgileri kullanarak ifadeyi yeniden yazabiliriz:<br /><br />\[<br />\frac{\cos x}{1 - \frac{\sin x}{\cos x}} - \frac{\sin x}{1 - \frac{\cos x}{\sin x}}<br />\]<br /><br />Bu ifadeleri ortak payda ile birleştirelim:<br /><br />\[<br />= \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x} - \frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x}<br />\]<br /><br />İkinci kesirin paydasını \(-1\) ile çarparak işaretini değiştirebiliriz:<br /><br />\[<br />= \frac{\cos^2 x}{\cos x - \sin x} + \frac{\sin^2 x}{\cos x - \sin x}<br />\]<br /><br />Şimdi paydaları aynı olan iki kesiri toplayabiliriz:<br /><br />\[<br />= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos x - \sin x}<br />\]<br /><br />Trigonometri kimliğine göre \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) olduğundan, ifade şu şekilde sadeleşir:<br /><br />\[<br />= \frac{1}{\cos x - \sin x}<br />\]<br /><br />Bu sonuç, seçeneklerden B şıkkına karşılık gelmektedir:<br /><br />B) \(\frac{1}{\cos x - \sin x}\)