13. tan75^circ +cot75^circ toplaminin değeri kaçtir? A) 2sqrt (2) B) 3 C) 3sqrt (2) D) 4 E) 4sqrt (2)

Verilen ifadeyi çözmek için trigonometrik identitiler ve bazı temel trigonometrik değerler kullanabiliriz.<br /><br />Öncelikle, \( \tan 75^\circ \) ve \( \cot 75^\circ \) ifadelerini çözelim:<br /><br />\[ \tan 75^\circ = \tan (45^\circ + 30^\circ) \]<br /><br />Trigonometrik identitilerden \( \tan (A + B) \) formülünü kullanarak:<br /><br />\[ \tan 75^\circ = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} \]<br /><br />Bilinmeyenleri yerine koyarsak:<br /><br />\[ \tan 45^\circ = 1 \]<br />\[ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \]<br /><br />Bu değerleri yerine koyarsak:<br /><br />\[ \tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \]<br /><br />Bu ifadeyi sadeleştirirsek:<br /><br />\[ \tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \]<br /><br />Şimdi \( \cot 75^\circ \) ifadesini çözelim:<br /><br />\[ \cot 75^\circ = \frac{1}{\tan 75^\circ} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \]<br /><br />Bu ifadeyi sadeleştirirsek:<br /><br />\[ \cot 75^\circ = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3} \]<br /><br />Son olarak, \( \tan 75^\circ + \cot 75^\circ \) ifadesini çözelim:<br /><br />\[ \tan 75^\circ + \cot 75^\circ = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4 \]<br /><br />Dolayısıyla, doğru cevap D) 4'tür.