cotx-tanx=4 olduguna gôre, cot2x degerl kaçtir? A) -4 B) -2 C) -1 D) 2 E) 4

Verilen denklemi \( \cot x - \tan x = 4 \) olarak ele alalım. Bu ifadeyi trigonometri kimliklerini kullanarak çözebiliriz.<br /><br />Öncelikle, \(\cot x\) ve \(\tan x\) terimlerini tanımlayalım:<br />\[<br />\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}<br />\]<br />\[<br />\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}<br />\]<br /><br />Bu ifadeleri yerine koyarak denklemi yeniden yazalım:<br />\[<br />\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = 4<br />\]<br /><br />Ortak payda bularak bu ifadeyi birleştirelim:<br />\[<br />\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = 4<br />\]<br /><br />Burada, \(\cos^2 x - \sin^2 x\) ifadesi \(\cos 2x\) eşit olduğundan, denklem şu hale gelir:<br />\[<br />\frac{\cos 2x}{\sin x \cos x} = 4<br />\]<br /><br />Ayrıca, \(\sin x \cos x\) ifadesi \(\frac{1}{2} \sin 2x\) eşittir. Bu bilgiyi kullanarak denklemi tekrar düzenleyelim:<br />\[<br />\frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 4<br />\]<br /><br />Bu ifadeyi sadeleştirirsek:<br />\[<br />\frac{2 \cos 2x}{\sin 2x} = 4<br />\]<br /><br />Bu da şu anlama gelir:<br />\[<br />2 \cot 2x = 4<br />\]<br /><br />Buradan \(\cot 2x\) değerini bulabiliriz:<br />\[<br />\cot 2x = 2<br />\]<br /><br />Sonuç olarak, doğru cevap D) 2'dir.