0lt xlt (pi )/(2) olmak ủzere, (sec(x)-1)/(2)=(3)/(sec(x)+1) esitligi saglanmaktadir. Buna gore, tan(x) degeri kaçtir? A) sqrt (2) B) sqrt (3) C) sqrt (5) D) sqrt (6) E) sqrt (7)

Verilen eşitlik:<br />\[<br />\frac{sec(x) - 1}{2} = \frac{3}{sec(x) + 1}<br />\]<br /><br />Öncelikle, \( sec(x) \) yerine \( \frac{1}{cos(x)} \) yazabiliriz. Ancak bu durumda işlemler biraz karmaşıklaşabilir. Bunun yerine, doğrudan \( sec(x) \) ile çalışalım.<br /><br />Eşitliği sadeleştirmek için içler dışlar çarpımı yapalım:<br />\[<br />(sec(x) - 1)(sec(x) + 1) = 6<br />\]<br /><br />Bu ifadeyi açalım:<br />\[<br />sec^2(x) - 1 = 6<br />\]<br /><br />Buradan \( sec^2(x) \)'i bulalım:<br />\[<br />sec^2(x) = 7<br />\]<br /><br />\( sec(x) \), \( \frac{1}{cos(x)} \) olduğuna göre:<br />\[<br />sec(x) = \sqrt{7}<br />\]<br /><br />Şimdi \( cos(x) \)'i bulalım:<br />\[<br />cos(x) = \frac{1}{sec(x)} = \frac{1}{\sqrt{7}}<br />\]<br /><br />\( tan(x) \)'i bulmak için \( sin(x) \)'e ihtiyacımız var. Trigonometrik kimliklerden \( sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \) olduğunu biliyoruz:<br />\[<br />sin^2(x) + \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^2 = 1<br />\]<br />\[<br />sin^2(x) + \frac{1}{7} = 1<br />\]<br />\[<br />sin^2(x) = 1 - \frac{1}{7}<br />\]<br />\[<br />sin^2(x) = \frac{6}{7}<br />\]<br />\[<br />sin(x) = \sqrt{\frac{6}{7}}<br />\]<br /><br />Şimdi \( tan(x) \)'i bulalım:<br />\[<br />tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{\sqrt{\frac{6}{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = \sqrt{6}<br />\]<br /><br />Sonuç olarak, \( tan(x) \) değeri:<br />\[<br />D) \sqrt{6}<br />\]