30. x^2+6x+1=0 kokleri m ve n dir. Buna gōre, m^2+n^2 toplamin tư? __ A) 33 B) 34. C) 35 D) 36 E) 37

Verilen denklem $x^{2}+6x+1=0$'dir. Bu denklemi kökleri $m$ ve $n$ olarak ifade edelim. Denklemi kökleri bulmak için diskriminantı hesaplayalım:<br /><br />$\Delta = b^{2}-4ac = 6^{2}-4(1)(1) = 36-4 = 32$<br /><br />Çünkü diskriminantı pozitif ve tefrikeli bir sayı olduğu için, denklemi iki farklı gerçek köküne sahiptir. Bu kökler $m$ ve $n$ olarak adlandırılmaktadır. Bu kökler, denklemi çözerken elde edilen değerlerdir.<br /><br />$m$ ve $n$ değerlerini bulmak için denklemi çözelim:<br /><br />$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$<br /><br />Bu nedenle, $m = -3 + 2\sqrt{2}$ ve $n = -3 - 2\sqrt{2}$.<br /><br />$m^{2}+n^{2}$ toplamını hesaplayalım:<br /><br />$m^{2}+n^{2} = (-3 + 2\sqrt{2})^{2} + (-3 - 2\sqrt{2})^{2} = 9 - 12\sqrt{2} + 8 + 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 34$<br /><br />Bu nedenle, $m^{2}+n^{2}$ toplamı 34'tür. Doğru cevap B) 34'tür.