cos^2x+sin2x-sin^2x=(5)/(4) olduguna gõre, sqrt (sin4x) ifadesi kaçtir? A) (1)/(3) B) (2)/(5) (3)/(4) D) (4)/(5) E) (5)/(6)

Verilen denklemi çözmek için trigonometri kimliklerini kullanarak başlayalım:<br /><br />\[<br />\cos^2 x + \sin 2x - \sin^2 x = \frac{5}{4}<br />\]<br /><br />Trigonometri kimliklerinden, \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\) ve \(\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x\) olduğunu biliyoruz. Ayrıca, \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) kimliğini kullanarak \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) yazabiliriz.<br /><br />Bu bilgileri kullanarak denklemi yeniden düzenleyelim:<br /><br />\[<br />\cos^2 x - \sin^2 x + \sin 2x = \frac{5}{4}<br />\]<br /><br />Bu, \(\cos 2x + \sin 2x = \frac{5}{4}\) olur. Şimdi, \(\sin 4x\) ifadesini bulmak istiyoruz. Trigonometri kimliklerinden \(\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x\) olduğunu biliyoruz.<br /><br />Öncelikle \(\cos 2x\) ve \(\sin 2x\) değerlerini bulmamız gerekiyor. Denklemi tekrar yazalım:<br /><br />\[<br />\cos 2x + \sin 2x = \frac{5}{4}<br />\]<br /><br />Bu iki terimi birleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyon olarak ifade edebiliriz. Bunun için toplam formülünü kullanalım:<br /><br />\[<br />R \cos(\theta) = \cos 2x + \sin 2x<br />\]<br /><br />Burada \(R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) ve \(\tan \theta = 1\), yani \(\theta = \frac{\pi}{4}\).<br /><br />Dolayısıyla,<br /><br />\[<br />\sqrt{2} \cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{5}{4}<br />\]<br /><br />Her iki tarafı \(\sqrt{2}\)'ye bölersek:<br /><br />\[<br />\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{5}{4\sqrt{2}}<br />\]<br /><br />Ancak bu değer \(|\cos|\) fonksiyonunun alabileceği maksimum değeri (\(1\)) aştığı için burada bir hata yapmış olabiliriz. Bu durumda, verilen denklemdeki değerlerin doğru olup olmadığını kontrol etmemiz gerekir.<br /><br />Daha önceki adımlarda bir hata yapmadığımızdan emin olmalıyız. Eğer \(\cos 2x + \sin 2x = \frac{5}{4}\) yanlışsa, bu durumda başka bir yaklaşım gerekebilir.<br /><br />Sonuç olarak, \(\sin 4x\) ifadesinin kökünü bulmak için doğru bir yol izlememiz gerekiyor. Ancak yukarıdaki işlemlerden dolayı \(\sin 4x\) ifadesi için geçerli bir sonuç elde edemedik. Bu nedenle, soruda verilen seçeneklerden biriyle uyumlu bir sonuç çıkarmamız mümkün değil.