Niveau : TCSP Exercice 1 (7pts)Dana un repere orthomome (0,7,3) on considere les points A(-1,2) B(1,1) (-3,3) 1) Calculer det (overrightarrow (AB),overrightarrow (AC)) et deduire que A Bet C ne sont pas alimen (a) Determiner une equation cartésienne de in droite (BC) (b) Soit (D) In droite definie par requation -3x-6y+4=0 Montrer que les droites (BC) et (D) nont paralleles.

Pour calculer le déterminant $\text{det}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$, nous devons d'abord trouver les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.<br /><br />$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$<br /><br />$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -3 - (-1) \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$<br /><br />Ensuite, nous calculons le déterminant :<br /><br />$\text{det}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-2) = 2 - 2 = 0$<br /><br />Puisque le déterminant est égal à zéro, cela signifie que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, ce qui implique que les points A, B et C sont alignés.<br /><br />(a) Pour déterminer une équation cartésienne de la droite $(BC)$, nous pouvons utiliser la formule de la droite passant par deux points :<br /><br />$\begin{pmatrix} x - x_1 \\ y - y_1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}$<br /><br />En utilisant les points B et C, nous avons :<br /><br />$\begin{pmatrix} x - (-1) \\ y - 2 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 1 - 2 \end{pmatrix}$<br /><br />Cela nous donne l'équation cartésienne de la droite $(BC)$ :<br /><br />$y - 2 = -\frac{1}{2}(x + 1)$<br /><br />$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$<br /><br />(b) Pour montrer que les droites $(BC)$ et $(D)$ ne sont pas parallèles, nous devons comparer leurs pentes.<br /><br />L'équation de la droite $(D)$ est $-3x - 6y + 4 = 0$, ce qui peut être réécrit sous la forme $y = -\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}$.<br /><br />La pente de la droite $(D)$ est donc $-\frac{1}{2}$.<br /><br />La pente de la droite $(BC)$ est également $-\frac{1}{2}$.<br /><br />Puisque les deux droites ont la même pente, elles sont parallèles.